『카지노 게임 추천&괴델, 추상적 사유의 위대한 힘』- 박정일 저
컴퓨터는 세상에서 단추가 가장 많은 가장 강력한 기계
튜링&괴델의 『추상적 사유의 위대한 힘』은 정보혁명 시대를 개척했다.
이 책은 인공지능의 이론적 토대를 구축한 위대한 수학자의 치열한 삶과 사상을 탐색했다.
튜링과 괴델이 이뤄낸 논리와 수학의 발전 과정 속에서 탄생한 현대 컴퓨터의 놀랍고 흥미진진한 이야기가 펼쳐진다.
'인간의 수학적 사유의 한계는 어디까지일까?'
'우리는 인공지능과 논리학의 근본적인 문제를 어떻게 풀어갈까?'
천재 수학자들은 인간의 사고 능력과 한계를 비교하면서 기계가 인간처럼 사고할 수 있는가라는 인공지능에 관한 철학적 질문을 던졌다.
수학과 철학적 개념을 연결한 이 책을 통해 논리학에 깊은 흥미를 느끼게 되지만, 아쉽게도 얄팍한 지식(앎)이 쑥 늘어나진 못했다.
Chapter 1 초대
컴퓨터의 기원과 수학 - 16쪽
세상에서 단추가 가장 많은 기계는 컴퓨터다.
2차 세계대전의 산물
지식정보화사회를 열다
산업혁명과 정보혁명
세상에서 가장 강력한 기계
영국의 천재 수학자 앨런 카지노 게임 추천(Alan Turing)은 어린 나이에 대학에 입학했다.
대학원 재학 시절 컴퓨터의 시초인 튜링 기계 이론을 발표했고, 훗날 이를 바탕으로 컴퓨터가 만들어진다.
일상적인 것에 변화가 생기려면 불안정함이 있어야 했다.
카지노 게임 추천은 불안정함이 평형을 깨면서 복잡한 패턴을 만드는 씨앗이 된다고 생각했다.
생명은 이런 다양성을 바탕으로 존재를 이어간다.
튜링의 생물학 연구도 순수한 평형 속에서 새로운 패턴이 나타나는 과정이었다.
그는 세계 최초로 단순한 형태의 컴퓨터에 대한 이론을 제안했으며, '튜링 기계'라 불리는 장치를 만들어 '컴퓨터 과학의 아버지'로 불리고 있지만,역사의 소용돌이 속에서 비극적인 자살로 생을 마감했다.
* 튜링 테스트(Turing test)는 1950년 튜링에 의해 제안된 인공지능 판별법이다. 이 기계는 테이프 위에 표시된 기호를 읽고 테이프를 좌우로 움직여 한 번에 1개의 기호를 읽는 장치로, 이를 컴퓨터의 시작으로 보기도 한다. 그는 생각하는 컴퓨터를 연구했고 훗날 이 연구가 현재 인공지능 토대가 되었다.
Chapter 2 만남
1. 비운의 천재 수학자, 튜링의 위대한 착상 - 30쪽
수학과 암호학에 정통했던 튜링은 자신의 방법론을 생물학에도 적용했다.
즉,난자와 정자가 합쳐진 ‘최초 접합자(수정란)’의 유전자가 형태를 결정한다는 것이다.
그는 단순한 무기물로 가득 찬 원시 지구에서 생각(계산)까지 할 수 있는 복잡한 생명체가 저절로 태어날 수 있느냐를 깊이 생각했다.
튜링은 단순하고 획일적인 패턴 하나에서 복잡하게 분화된 패턴이 나타나는 원리를 설명했고, 그의 고찰은 조그만 세포 하나에서 복잡하기 그지없는 생명체가 만들어지는 과정에 대한 근원적 수학의 모델을 담고 있다.
카지노 게임 추천은 전형적인 괴벽스러운 영국 천재였다.
자기가 쓰는 커피잔을 누가 훔쳐 갈까 봐 난방기에다가 쇠사슬로 묶어 보관했고, 꽃가루 알레르기를 막기 위해 방독면을 쓴 채 자전거를 타고 출퇴근했다. 체인이 주기적으로 빠지는 자전거를 타면서도 고치지 않고 톱니, 바퀴, 바큇살의 수학적인 관계를 관찰했다. 몇 달 동안 체인을 매번 손으로 바로잡고 페달을 밟았던 것이다. 튜링에겐 자전거도 수학 계산기였다.
카지노 게임 추천에게 세상은 암호해독기처럼 계산할 수 있는 대상으로 가득 차 있었다.
튜링은 수학과 컴퓨터를 이용해 생명현상도 계산할 수 있다고 생각했다. 그 결과 튜링은 최초의 생명정보학자 중 한 명이 됐다.
... 튜링의 직관은 옳았다. 생명 현상은 엄격한 수학·물리학 법칙으로 설명할 수 있다. 지금은 당연하게 들리는 얘기다.
이미 생물학자들은 인간의 게놈(유전체) 전체를 해독했고, 세포 안에 있는 수많은 분자의 기능을 알아냈으며 뇌를 컴퓨터에 빗대 설명한다. 그러나 튜링이 이 논문을 발표했던 1950년대만 해도 생명 현상과 정보 처리를 같은 것으로 생각하는 사람은 거의 없었다.
튜링이 살아있었다면, 지금의 생물학은 수학 및 전산학과 훨씬 더 빨리 만났을 것이다.
생명체와 수학은 정보 처리를 한다는 점에서 결국 똑같기 때문이다. 생물의 기본 단위인 세포는 최소 에너지로 최대한의 정보를 처리하기 위해 끊임없이 회로를 수정하고 새로 만들기를 반복한다.
세포 역시 컴퓨터처럼 계산하기 위한 회로와 메모리를 가지고 프로그래밍을 한다. 세포를 프로그래밍해서 원하는 물질을 만들어내는 기술은 이미 나와 있다. 앞으로 수많은 세포 컴퓨터가 프로그램에 따라 작동하며 수많은 종류의 유용한 물질을 만들어 낼 것이다.- 천정희 서울대 교수
[과학자의 연구실] 최초의 생명정보학자, 앨런 카지노 게임 추천
영국의 수학자, 앨런 카지노 게임 추천은 ‘생명 현상을 계산할 수 있는가’와 같은 철학적 질문에 ‘그렇다’라는 답을 이끌어 낼 수 있는 도구를 제공했다. 튜링은 불세출의 암호학자인 동시에 최초의 생명정보학자인 셈이다. 튜링은 수학을 넘어 우리에게 철학적인 의문을 제시했던 것이다.
컴퓨터의 탄생
사과를 베어 문 채 자살한 천재 수학자 -32쪽
에니그마와 봄베(Enigma & BomBE)
제2차 세계대전에서 독일은 잠수함과 사령부 간 통신에 거대한 암호체계인 '에니그마'라는 암호 기계를 사용했다. 영국정부의 요청으로 튜링은 1950년 자신의 논문에 기초한 봄베 기계를 개량하여 에니그마를 해독하기에 이른다.
첨단 공학의 그늘
현대 컴퓨터를 탄생하게 한 튜링의 위대한 착상과 업적은 30년 이상 은폐되었다.
2. 괴델, 수학의 불완전성을 밝히다 - 43쪽
미국의 수학자, 논리학자인 괴델은 논리학과 수학 기초론을 확립한 체코슬로바키아 출신이다.
수학기초론이나 논리학의 방법에 결정적인 전환점을 가져온 많은 '괴델의 정리' 중 특히 유명한 것은 1931년 발표한 '불완전성 정리'이다.
괴델은 기호 논리학의 방식에 따라 수학 이론을 기술하는 방법에는 어떤 종류의 한계가 있다는 '괴델의 불완전성의 정리'를 증명했다.
이것은 당시 공리적인 방법에만 의존하여 수학의 체계를 세우는 확신을 좌절시킨 정리이다.
체르 멜로의 선택 공리와 칸토르의 연속체 가설, 그것을 일반화한 일반 연속체 가설을 모두 옳다고 가정해도 집합론에 새로운 모순이 생기기 않는다는 괴델의 증명도 유명하다.
1938년 나치스 정권의 박해로 미국으로 이주하여 프린스턴 대학 고등 연구소 연구원이 되었다.
주요 저서로는 현대 수학의 고전으로 꼽히고 있는 <집합론 공리와 선택 공리 및 일반화된 연속체 가설 사이의 무모순성(1940)이 있다.
참이지만 증명할 수 없는 진리
괴델의 불안정성 정리는 지금도 처음 접하는 사람에게는 놀라움과 당혹스러움, 충격을 불러일으킨다.
현대 수학의 아버지라 일컬어지는 힐베르트에게 내던진 괴델의 불완전성 정리는 힐베르트 프로그램에 타격을 주었을 뿐 아니라, 20세기 학문계를 강타했다.
괴델이 보인 것은 실제의 산수와 수학이 불완전하다는 것이다.
괴델의 (제1) 불완전성 정리란 수학 체계에서는 참이지만 증명 불가능한 문장이 존재한다는 정리이다.
괴델과 디지털 정보 처리
태아의 자세로 굶어 죽은 천재 수학자 - 49쪽
괴델과 아인슈타인의 우정
3. 새로운 논리학의 탄생 - 54쪽
조리 있게 말해봐
문장을 기호화하다
술어 논리
프레게의 1차 논리
20세기 접어들면서 등장한 새로운 논리학은 명제를 개체 상항과 술어(또는 관계)로 분석하고, 또 명제 함수에 양화사를 첨가해 명제를 형성하며 여기에 이와 관련된 공리와 추론 규칙들을 첨가하여 이루어진 것이다.
4. 무한의 세계 - 69쪽
어느 것이 더 많지?
잠재 무한과 실제 무한
대각선 방법
칸 도어의 대각선 방법(diagonal method)은 나중에 괴델의 불완전성 정리와 튜링의 멈춤 문제 해결 불가능성을 증명할 때 사용되는 것으로 매우 중요하다.
실수는 자연수보다 많다?
5. 카지노 게임 추천과 컴퓨터 -86
계산이란 무엇인가?
카지노 게임 추천 기계 속으로 - 90쪽
카지노 게임 추천 기계의 예
카지노 게임 추천 기계로 계산하기
카지노 게임 추천 기계와 컴퓨터
6. 보편 카지노 게임 추천 기계와 현대 컴퓨터 - 108
카지노 게임 추천 기계란 다른 카지노 게임 추천 기계가 할 수 있는 모든 일을 흉내 낼 수 있는 기계를 말한다.
보편 튜링 기계는 다른 튜링 기계가 할 수 있는 일이라면 무엇이든지 혼자서 흉내 낼 수 있는 기계로, 튜링 기계 중에서도 가장 강력한 기계라 할 수 있다.
괴델 수 대응
괴델 수 대응과 보편 튜링 기계
보편 카지노 게임 추천 기계의 계산
보편 카지노 게임 추천 기계와 현대 컴퓨터
7. 수학의 위기 - 127
수학의 위기와 역설
괴델 수 대응이라는 착상에 따라 정보를 처리하는 것은 수의 관계를 다루는 것에 불과하다.
보편 튜링 기계는 착상에 따라 보편 튜링 기계에 내장된 프로그램은 다른 프로그램을 처리하고 운영하는 것이 원리적으로 가능함을 확인했다. 산업혁명을 주도한 증기 기관에 대해 뉴턴의 역학이 있었다면, 정보혁명을 주도한 컴퓨터에 대해서는 괴델과 튜링의 수학이 있었다.
현대 수학의 아버지라 일컬어지는 힐베르트는 20세기 초에 발발한 '수학의 위기'를 돌파하기 위해 소위'힐베르트 프로그램'을 제안했고, 향후 튜링과 괴델이 해결하게 될 과제를 공식적으로 정식화했다.
러셀의 역설
거짓말쟁이의 역설
여러 가지 역설
러셀의 '이발사의 역설, 그렐링의 역설, '칸토어의 역설, '부랄라-포르티의 역설
8. 힐베르트의 프로그램 - 143
힐베르트의 프로그램이란 실제의 수학을 형식화하고 그것에 대해 '유한 주의 방법'(또는 '유한적 방법')은 그가 새롭게 만든 용어였고, 힐베르트도 이것이 무엇인지 엄밀하게 정의하지 않았다.
칸토어 낙원의 수학자
프레게의 현대 논리학이 등장하고, 칸토어의 집합론이 발흥하는 상황에서 예기치 않은 여러 역설들이 발견되면서 '수학의 위기'는 무르익는다. 이런 위기 상황에서 수학의 황제라 일컬어지는 가우스가 한 시대를 풍미했던 독일 괴팅겐 대학 수학자 다비드 힐베르트가 등장한다.
힐베르트는 산수와 전체 수학에서 모순이 도출되지 않는다는 것을 증명할 수 있으리라 낙관했다. 또 이를 토대로 칸토어의 집합론의 초한 개념을 정당화할 수 있다고 믿었다. 이러한 생각은 1920년대 힐베르트 프로그램이 등장하면서 가시화되기 시작한다.
형식 체계
메타수학
유한 주의 방법과 메타수학
9. 괴델의 불완전성 정리 - 158
괴델의 불완전성 정리(영어: Gödel’s incompleteness theorems)는수리논리학에서페아노 공리계를 포함하는 모든 무 모순적 공리계는 참인 일부 명제를 증명할 수 없으며, 특히 스스로의무모순성을 증명할 수 없다는 정리다.- 위키백과
완전성과 불완전성
불완전성 정리를 쉽게 증명하기
기묘한 자기 지시 문장
불완전성 정리 증명의 얼개
괴델의 증명
골리앗과 다윗의 싸움
괴델의 불완전성 정리는 힐베르트 프로그램을 죽였는가?
10. 카지노 게임 추천과 결정 문제 - 182
힐베르트의 결정 문제
대각선 방법 버전 2
멈춤 문제
멈춤 문제 해결 불가능성
1차 논리의 결정 불가능성
11. 기계는 생각할 수 있는가? - 201쪽
컴퓨터는 세상에서 단추가 가장 많은 가장 강력한 기계이다.
현대 컴퓨터의 발명을 가능하게 했던 핵심 착상인 괴델 수 대응과 보편 튜링 기계를 넘어, 그러한 착상이 왜 수학 발전과정에서 필요했는지를 이해하기 위해 힐베르트 프로그램, 괴델의 불완전성 정리, 튜링의 결정 문제 해결 불가능성 정리 살려보았다면, 이제 이와 관련된 가장 핵심적인 철학적 문제를 마주하게 된다.
사람이 기계라면
심신 일원론과 심신이원론 - 206쪽
강한 인공 지능 주의와 약한 인공 지능 주의
카지노 게임 추천 테스트 - 212쪽
카지노 게임 추천의 반박 / 기계는 생각할 수 있는가?
Chapter3. 대화
힐베르트의 프로그램 vs. 괴델의 불완전성 정리 - 226~239
이 장의 대화에는 폰 노이만, 힐베르트, 스모 린스키, 겐첸, 괴델, 카지노 게임 추천, 비트겐슈타인이 등장한다.
대화의 정리가 쉽지 않아, 아래 참고 자료를 검색해서 올려 다.
괴테의 불완전성 정리와 그것의 역사적 배경을 이루었던 힐베르트의 프로그램이 어떤 관계에 놓이느냐 하는 쟁점은 전자가 후자를 논박하느냐 하는 문제로 요약될 수 있다. 전자는 수리논리학에서의 한 정리이고 후자는 어떤 철학적 해석이 요구되는 요소를 지니고 있다. 따라서 전자는 '그 자체만으로는' 후자를 논박할 수 없으며, 어떤 철학적 해석이 부여될 때에만 그런 일은 가능할 수 있다. 후자가 지니고 있는 철학적 요소 중에서 가장 중요한 것은 힐베르트의 "유한 주의"의 개념이다. 이 개념에 대해서 어떤 철학적 해석이 부여되느냐에 따라, 전자는 후자를 논박할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다. 특히, 힐베르트의 "유한 주의"에 대한 철학적 해석은 괴델의 "특수한 유한 주의적" 해석과 겐첸의 "구성주의적 해석"으로 대변할 수 있다.
자료출처https://academic.naver.com/article.naver?doc_id=1026716852
괴델의 불완전성 정리는 수리 논리학사에서 힐베르트 프로그램에서의 완전성에 대비하여 불완전성을 증명한 것으로 되어 있지만, 이 증명의 함의는 오히려 ‘추론적 사고의 한계’를 명확히 함으로써, 우리의 사고체계에서 ‘직관의 영역’[초월]을 논리적 증명의 형식을 통하여 개척하고 있다고 보아야 한다. 괴델의 증명 자체는 수리 논리학 분야에서 취급해야 할 것이지만, 이 증명이 불러올 파장은 결코 수리학적 논의에 그치지 않는다. 본 연구를 통해 밝혀지듯이, 괴델의 불완전성 정리는 우리의 인식 체계에서 ‘추론과 직관’의 관련을 심도 있게 탐색하도록 유도하며, 한편으로 추론적 사고가 역설(패러독스)에 부딪혔을 때, 이를 어떻게 취급할 것인가에 대한 대안을 제시한다고 할 수 있다. 이는 교육에서 ‘추론적 사고’를 통해 접근할 수 있는 영역과 ‘직관’을 통해 접근할 수 있는 영역의 구분을 명확히 해주며, 또한 직관의 영역에서 교사의 역할이 어떻게 작용할 수 있는지에 대한 탐구를 모색하게 한다.
자료출처https://academic.naver.com/article.naver?doc_id=606816054
Chapter4. 이슈
카지노 게임 추천 테스트는 생각하는지를 판단하는 기준일 수 있는가 - 242쪽
불완전성 정리는 기계가 생각을 할 수 있다는 것을 보여줄 수 있는가 - 247쪽
부록 - 252쪽
Epilogue
1.지식인 지도 - 258쪽
2.지식인 연보 - 260쪽
3.깊이 읽기 - 263쪽
4.찾아보기 - 265쪽
튜링&괴델의 『추상적 사유의 위대한 힘』을 마주한 경험은 놀랍다.
어떻게 기계가 문자가 그대로 생각할 수 있으며, 생각할 수 있는 컴퓨터를 만드는 일이 가능하다고 상상할 수 있는가!
생각할 수 있는 컴퓨터를 만드는 일이 가능하다고 생각했던 튜링의 천재성이 오늘날 더 강한 메시지를 보내고 있다.
사람 행세를 하는 컴퓨터와 인간이 각각 다른 장소에서 교신을 주고받을 때 컴퓨터가 인간을 속일 수 있을까?
튜링의 테스트는 인간이 컴퓨터에게 속는 경우가 가능한지를 시험하는 게임이었다.
튜링은 자신의 논문에서, 만약 인간이 '컴퓨터가 사람일 것이라고 판단'을 내린다면 이 기계는 지능을 갖고 있고 생각을 한다고 보아야 한다는 '모방 게임'을 실험했다.
그러나 이 책은, 인간처럼 생각할 수 있는 컴퓨터가 실제로 존재한다면 도대체 우리는 그 기계가 생각을 한다는 것을 어떻게 알 수 있는지를 다시 묻고 있으며, 우리는 현대 기계의 눈부신 발달로 비로소 원했던 원치 않았던 인공지능 시대에 살고 있다는 자각을 다시 하게 된다.
최근 핸드폰에 깔아 둔ChatGPT기계의 힘을 빌려 살펴본『카지노 게임 추천&괴델, 추상적 사유의 위대한 힘』책의 요약 일부를 아래 옮겨 적으면서 책을 덮는다.
괴델의 불완전성
괴델은 20세기 초 수학의 기초를 확립하려는 시도 속에서, 완전하고 모순 없는 수학 체계를 구축하려는 꿈이 불가능함을 증명했다. 그의 불완전성 정리는 '어떤 강력한 형식 체계도 스스로의 참과 거짓을 완전히 판별할 수 없다'라는 점을 보여주며 수학과 철학에 엄청난 영향을 끼쳤다.
카지노 게임 추천의 계산 가능성튜링은 현대 컴퓨터의 개념적 기초를 제공한 튜링머신(Turing Machine)을 고안하며, 어떤 문제들이 알고리즘적으로 해결 가능한지를 탐구했다. 그의 연구는 계산 가능성과 결정 불가능성을 이해하는 게 중요한 역할을 했으며, 이후 인공지능과 컴퓨터 과학의 발전에 핵심적인 영향을 미쳤다.
영화'이미테이션 게임'은
천재 수학자‘앨런 카지노 게임 추천’(1912년 6월~1954년 6월)의 굵고 짧았던 일생을 담고 있다.
튜링은 제2차 세계 대전 당시 해독이 불가능하다는 독일군의 암호를 해독하여, 전쟁에서 승리를 이끌어냈다.인간의 두뇌로는 절대 해독할 수 없다는 ‘에니그마’ 암호를 풀어 전쟁 종식을 2년이나 앞당겼으며, 1400만 명의 목숨을 구했다.
그는 세계 최초의 컴퓨터인 ‘튜링 머신’을 개발, 인류 역사의 거대한 변화를 이끌었던 인물이었지만, 해독 팀에서 기밀 작전을 수행했기에 그의 존재는 베일에 감춰져 있어야 했다.
튜링은 승전에 기여한 암호 해독 업적과 천재적 컴퓨터 및 수학 연구 기여에도 불구하고 19세 남성과의 동성 관계가 발각되면서 사회적으로 매장되기에 이른다. 범죄자가 된 튜닝은 1952년 여성 호르몬 주사를 통한 거세 처벌을 받아야 했고, 이후 스스로 청산가리를 주입한 사과를 먹고 목숨을 끊었다고 알려져 있다.
'애플'사를 상징하는 한입 베어 먹은 사과 로고는 ‘카지노 게임 추천’을 추모하기 위해 만들어졌다고도 한다.
이미테이션 게임(영어: The Imitation Game)은2014년에 공개된영화이다.노르웨이출신의모르텐 튈둠이 감독하고, 그레이엄 무어가 각본을 썼다.수학자앤드루 호지스의 작품이 원작이며,베네딕트 컴버배치가 주인공앨런 카지노 게임 추천역을 맡았다. 이미테이션 게임은 엘런 튜닝의 암호 해독기에 관한 내용이다.- 위키백과
