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<수학의 철학을 읽고
힐러 퍼트넘, 폴 베나세랖, <수학의 철학, 박세희 옮김 (아카넷, 2002)<수하의 철학 은 20세기 수학기초론의 핵심 논문들을 모아놓은 책입니다. 논리주의와 직관주의, 형식주의 등이 다양하게 맞물리는 장을 한 권에 모두 담아놓았습니다. 이 책은 단순 개론서의 느낌이 아닌, 수학이 무엇을 다루는 학문인지 보다 깊게 들여다볼 수 있습니다.
허준이라는 수학자가 필즈상을 받았을 때, 이 책이 다시금 조명받을 줄 알았습니다. 하지만 이는 저만의 생각이었던 것 같습니다. 그 이유는 이 책이 생각보다 어렵기 때문입니다. 한 장을 완벽하게 이해하는 데 걸리는 시간은 영화 한 편을 감상하는 것보다 길게 느껴질 정도입니다. 책장 사이사이에는 수식들이 담겨 있어 눈은 피로해지고 정신은 뿌연 안개로 가득 채워지게 됩니다.
그래서 저는 이 책을 한 번 즈음을 읽어보는 걸 권하고 싶습니다. 너무 쉬운 책들만 읽다 보면 사고는 나태해지고 머리는 폭신한 쿠션처럼 퇴화해 버릴 수 있기 때문입니다. 저는 이 책에 있는 모든 내용들을 이해하겠다는 욕심은 버리고, 한 줄 한 줄에서 "이렇게도 볼 수 있구나." 정도의 재미있는 생각을 주워나가는 맛으로 읽어 나갔습니다. 생각해 보면 인생도 그렇습니다. 내 주위에 있는 모든 것들을 완벽하게 이해한다는 것은 불가능에 가깝습니다. 우리 주변에 있는 몇 조각의 통찰이라도 건져 올릴 수 있다면 그것으로도 충분합니다.
이 책의 1부에서는 '수학의 기초'를 세 가지의 전통적인 관점(논리주의, 직관주의, 형식주의)으로 명료하게 구분하였습니다. 루돌프 카르납, 아렌트 하이팅, 힐버트 폰 노이만 등 각 학파를 대표하는 사상가들의 글을 통하여 무한공리*와 비가술적 정의**와 같은 민감한 쟁점이 어떻게 받아들여지는지 드러납니다. 예를 들어 하이팅의 경우 '한 무한집합을 다룰 때, 그 자체가 완성된 대상인지 아니면 잠재적 구성물인지가 관건'임을 강조하였고, '무한 공리가 주어지더라도 그것이 실제 잘 정의된 존재임을 보장하지 않는다.' 라 주장합니다.
(* 무한공리는 "자연수처럼 끝없이 늘어나는 숫자가 존재한다고 가정하자." 라는 약속입니다. 어떤 수학자는 무한은 개념일 뿐이며, 존재한다고 볼 수 없다고 말하고, 또 다른 수학자는 무한을 직접 볼 수 없지만, 수학적으로 중요한 개념이니 인정해야 한다고 주장합니다.)
(** 비가술적 정의는 내가 속한 그룹을 이용해 나 자신을 정의하는 것입니다. 예를 들어 "가장 인기 있는 연예인은 가장 많은 팬을 가져야 한다." 란 정의를 제대로 사용하려면 모든 배우가 보유한 팬을 알아야 합니다. 하지만 하지만 이 정보를 모두 모으기 전까지 가장 인기 있는 연예인을 알 수 없습니다. 고로 정의를 내리기기 위해서는 먼저 전체적인 그룹이 완성되어야 하는데, 정의를 하는 순간 그 그룹 자체를 만들어야 하는 상황이 발생합니다. 이를 비가술적 정의라 합니다. 고로 비가술적 정의는 스스로를 포함한 더 큰 개념을 이용해 정의되는 방식입니다. 여기서 러셀의 역설로 이어집니다. "본인을 포함하지 않는 집합들의 집합"의 경우, 자신은 포함되어도 안 되고, 포함되지 않아도 안 되는 모순이 발생합니다. 어느 수학자는 이러한 정의 방식이 꼭 필요하다고 하며, 어떤 수학자는 이런 정의를 쓰면 모순이 생기니 주의해야 한다고 말합니다. )
2부에서는 '경험론, 의미론 및 존재론'이라는 루돌프 카르납의 논문을 바탕으로 플라톤주의와 반실재론적 관점이 충돌하게 됩니다. '무한집합', '수'와 같은 수학적 대상들이 실제 존재하는지, 아니면 단지 우리 언어와 개념의 편의적 산물인지가 핵심 논점입니다. 책 속에서 "수학은 주어진 그 무엇으로 이해되어야 하고, 설명되어야 하며, 정확하게 기술되어야 한다."라는 문장이 나옵니다. 이는 곧 수학적 대상에 대한 기술방식을 어떻게 정당화할 것인지에 대한 고민으로 이어지게 됩니다.
제3~4부는 수학적 진리가 과연 논리적 항진명제의 형태로 환원될 수 있는가에 대한 질문을 던집니다. 그리고 집합론의 공리들은 진정 분석적이라고 부를 수 있는가 등을 다릅니다. 괴델의 연속체 가설 독립성 증명 이후, 집합론은 더 이상 당연한 진리가 아닌, 공리체계적 선택임이 부각되었습니다. 그 결과 "무한 공리를 직접 정당화하려는 형식주의적 노력"과 정말 그 공리를 논리라 부를 수 있는가"라는 논리주의의 질문이 서로 충돌하게 됩니다. 이 지점에서 <수학의 철학은 집합론이 일종의 '철학적 전쟁터'임을 각 저자의 생생한 논의를 통하여 잘 보여줍니다.
이 책은 수학은 논리인지 아니면 고유한 존재론을 지닌 학문인지에 대한 물음을 다양한 답변을 한 곳에 모아놓았습니다. 동시에 수학적 방법이 어떤 점에서 신뢰할 수 있는지를 둘러싼 치열한 토론장이라고도 할 수 있습니다. 수학적 개념을 설명하는 데에만 그치지 않고 기초론과 존재론 그리고 진리론을 유기적으로 연결하여 수학을 철학적으로 이해하려는 분들에게는 매력적인 책이 될 것입니다.
이 책의 가장 큰 매력은 한 권을 통해 20세기 수리철학 담론의 단면을 들여다볼 수 있따는 점입니다. 기초적인 수학 지식과 함께 논리, 철학적 배경이 어느 정도 뒷받침된다면, 수학은 단순 계한이나 형식 이상으로서 작용하여 시선을 한 단계 높여줄 수 있는 사유체계라는 걸 발견하게 될 것입니다. 책의 제목 때문에 진입장벽이 다소 높아 보이지만, 수학 전공자뿐만 아니라 논리, 인문, 철학에 관심을 갖고 있는 분들에게도 추천할 만합니다.
제가 앞서, 책을 완벽하게 이해하기보다 (이해 못 한 게 더 정확함 ㅠㅠ) 재미있는 생각을 수집하는 방향으로 읽어나갔다고 했습니다. 그래서 제가 수집한 생각들 중 일부를 짧게나마 공유하겠습니다.
우리는 이미 분석적 명제들이 어떻게 하여 필연적으로 확실한가를 설명하였다. 우리는 그들이 경험으로 논파되지 않는 이유는, 그들이 경험적 세계에 관하여 어떠한 주장도 하지 않기 때문임을 깨달았다.
= 우리는 종종 '사실'이라고 믿는 것이 경험이 아닌, 우리가 설정한 기준과 언어적 정의에 의해 결정된 것일 수도 있습니다. 삶에서도 우리가 무조건적인 진리라고 여기는 것들이 실은 나 자신의 사고방식이 아닌 가치관의 결과일 수도 있습니다.
"러셀은 '비가술적 정의를 허용하는 순간, 그것이 속한 전체를 사용하여 스스로를 정의하는 역설적 상황이 발생할 수 있다’고 보았다."
= 카지노 게임 사이트적으로 완벽해 보여도, 작은 가정 하나가 무너질 경우 전혀 다른 결과를 낳을 수 있다는 의미입니다. 이는 카지노 게임 사이트적으로 모순이 생길 수 있음을 경고한 문장으로 우리의 일상적 사고방식을 돌아보게 만듭니다. 예를 들어 자신의 가치를 타인의 평가를 통해서만 결정하려 한다면, 본래 자기 정체성을 잃어버릴 수 있습니다. 고로 우리는 스스로를 외부 기준이 아닌, 내면적 기준으로 정의해야 한다는 점을 다시금 생각하게 합니다.
우리는 순수기하학의 명제들은 분석적이라는 결론을 얻는다. 그리고 이것은 우리로 하여금, 기하학은 우리의 외적 감각과 직관의 형식을 다루는 것이라는 칸트의 가설을 거부하게 한다.
= 우리는 우리가 경험하는 세계가 객관적이라고 생각하지만, 실은 우리의 감각과 인식 틀 안에서 형성된 것일 수 있다. 삶에서도 '이것이 정답이다.' 라는 단정보다 보는 관점에 의해 해석된 것임을 염두하게 이끕니다.
우리는 발견들이 산술에서뿐만 아니라 기하학이나 형식논리에서도 이루어지는데, 후자들에서는 수학적 귀납법이 사용되지 않음을 기억하여야 한다.
= 모든 문제가 동일한 방법으로 해결되는 것이 아니라는 점을 깨닫게 합니다. 어떤 문제는 경험적 귀납을 통하여 해결할 수 있지만 어떤 문제는 카지노 게임 사이트적 사고를 필요로 합니다.
"실수를 도입하는 방법의 본질은 실수들이 가정된 것이 아니라 구성된 것이라는 데 있다. 카지노 게임 사이트주의자는, 공리나 공준을 설정함으로써 실수들의 성질을 확립하지 않고, 명백한 정의들을 내리고 이들을 써서 실수들의 보통 성질들을 가지는 카지노 게임 사이트적 구성들을 만들어낸다."
= 진리 또한 그것을 사용하는 사람의 입장에 따라 다르게 보일 수 있다는 의미에 가깝습니다. 그러므로 어떤 개념이나 체계를 받아들일 때, 그것이 단순한 '진리'가 아니라 일정한 가정과 정의에 의해 만들어졌음을 이해하게 합니다. 일상에서 우리가 믿고 있는 것들이 정말로 확고한 것인지 아니면 특정 전제에 의해 성립된 것인지 생각하도록 만듭니다.
비가술적 정의의 무의미성을 피하기 위해, 우리는 카지노 게임 사이트를 어떻게 전개하여야 하는가?"
= 이는 어떤 전제도 그 전체만을 써서 정의할 수 있는 부분을 포함할 수 없다는 것입니다. 이는 우리가 스스로를 정의할 때 단순 외부적인 요소만을 기반으로 판단하면 안 된다는 점을 시사하기도 합니다. 예를 들어 '나는 성공한 놈인가?"라는 질문을 할 때 사회가 정한 기준에 따라 판단하는 게 아닌, 스스로에게 의미 있는 기준을 설정하는 것 또한 중요하다는 점을 시사합니다.
카지노 게임 사이트적 추론에서 오류가 생길 위험은 계산과정의 길이와 복잡성에 비례한다. 그리고 이와 마찬가지로, 분석적 명제가 더 복잡할수록, 그것이 우리에게는 흥미 있고 놀랄 만한 것이 될 가능성이 크다.
= 복잡한 문제일 수록 오류가 발생할 가능성이 높으므로, 모든 것을 완벽하게 이해할 수 없음을 인정하고 더 깊이 사고하려는 노력의 중요성을 일깨웁니다.
논리와 수학의 진리들이 모두 분석적이라는 견해에 관련되는 설명하기 어려운 패러독스는 존재하지 않는다는 것을 보였으므로, 우리는 그것을 그들 진리의 아 프리오리 필연성에 관한 단 하나의 충분한 설명으로 채택해도 괜찮을 것이다.
= 어떤 진리를 받아들이는 방식에는 필연적인 이유가 있습니다. 우리가 어떤 신념을 가지는지, 그것이 어떤 전제에 의해 형성되었는지 탐구할 필요가 있습니다.
우리는 그들이 경험으로 논파되지 않는 이유는, 그들이 경험적 세계에 관하여는 어떠한 주장도 하지 않기 때문임을 알았다. 그들은 단지 언어를 어떤 식으로 사용할 것인가에 관한 우리의 결정을 기록할 뿐이다.
= 우리가 사용하는 언어와 개념이 세계를 어떻게 이해하는지 결정합니다다. 사고방식을 바꾸고 싶다면, 사용하는 언어부터 점검할 필요가 있습니다.
2025년 3월 15일 알라딘 중고가 기준아래는 이 책을 읽고 싶지만, 귀찮아하시는 분들을 위해 짧게 요약한 내용입니다.
1부 수학의 기초는 논리주의, 직관주의, 형식주의 학파를 대표하는 논문들을 모아놓았습니다. 루돌프 카르납은 수학 전체를 궁극적으로 논리로 환원할 수 있다고 보는 논리주의 입장을 정교하게 풀어내, 공리체계와 정의 방식에서 발생하는 어려움을 어떻게 해결할 수 있는지를 제시했습니다. 아렌트 하이팅은 브라우워가 제창한 직관주의 노선을 설명하며, 무한 집합을 미리 완성된 대상으로 취급하는 방식에 의문을 제기합니다. 그는 한없이 확장, 구성되는 '잠재적 무한'만을 인정해야 한다고 주장며, 이에 따라 고전 논리학의 배중률을 제한해야 한다고 보았습니다. 요한 폰 노이만의 글은 데이이비드 힐버트가 제안한 형식주의, 고로 기호와 규칙으로만 구성된 형식체계를 토대로 고전수학 전체를 받아들이되, 그 무모순성을 유한적 방법으로 증명하려 한다는 입장을 명확히 합니다. 이후 이어지는 하이팅의 짧은 논쟁과 브라우워의 텍스트 그리고 마이클 더밑의 논문은 직관주의가 주장하는 구성적 증명의 중요성, 형식주의 또는 논리주의와 얼마나 충돌하는지를 더 구체적으로 보여줍니다. 특히 더밑은 언어철학적 접근을 통하여 '증명 가능성'이란 어떤 명제를 이해하는 핵심이라 말합니다. 이어서 고틀로프 프레게와 버틀란드 러셀의 발췌 글들은 수 개념을 논리적으로 정의하려 했던 논리주의의 기획을 상징적으로 담고 있습니다. 프레게는 자연수조차도 논리적 개념으로 환원 가능하다 보았으며, 러셀 또한 추론이 논리의 확장이 불과하다는 점을 말하면서도 러셀 패러독스나 비가술적 정의로 인한 어려움을 솔직하게 다루고 있습니다. 다비트 힐버트는 무한 개념을 어떻게 받아들여야 하는지 그리고 이를 정당화하기 위해서는 유한론적 무모순성 증명이 왜 필요한지 말합니다. 하스켈 커리와 게오르그 크라이셀의 글은 형식주의를 더욱 발전시키는 과정에서 발생하는 난점들을 상세하게 분석하는 내용으로, '무모순성 증명'이라는 목표가 왜 쉽지 않은지를 잘 보여주었습니다.
2부는 수학적 대상의 존재론을 다루는 글들을 모아놓았습니다. 루돌프 카르납은 수학적 존재론을 경험론적으로 정당화하려는 시도, 언어와 개념적 장치로서 수학을 이해하려는 태도 사이의 간극을 논의합니다. 여기서 플라톤주의적인 입장으로 수나 집합 같은 대상이 실제 세계에 독립적으로 존재한다고 믿는 전통, 그것을 오직 편의적 구성물로 해석하려는 시각의 충돌이 발생합니다. 여기서 폴 베르나이스는 힐버트의 형식주의를 계승한 입장에 있으면서도, '후학적 실재가 현실적 물리적 대상과 전혀 다른 방식으로 존재한다.'는 플라톤주의 가정이 왜 여전히 매력적인지를 설명합니다. 폴 베나세랖은 '수가 될 수 없는 것들'이란 제목의 글에서 자연수나 실수 등을 각각의 집합론적 방법에 따라 구성하여도 정말 동일한 대상을 얻는 것인지 또는 서로 다른 대상들을 말하는 것인지에 대해 근원적인 의문을 던집니다. 이 논문에서는 '수 '라는 개념을 집합으로만 정의하려고 할 경우 발생하는 어려움을 날카롭게 파고들었습니다. 마지막으로 힐러리 퍼트넘의 경우 전통적인 기초론 자체가 완결된 해법이 아니라고 보면서, 수학이 단지 '언어의 기호 조작'이거나 '초월적 실재' 어느 한쪽으로만 단정하기 어려운 복합적인 성격을 지닌다고 말합니다.
3부는 '수학적 진리' 문제를 중심에 놓고 있습니다. 알프렌 쥴스 에이어는 감각 경험 없이도 받아들이는 수학 명제들이 과연 어떤 근거로 선험적 진리로 취급될 수 있는지 설명하며, 그 한계를 논리실증주의의 맥락에서 짚습니다. W. V 콰인은 규약주의가 주장하는 "수학은 약속에 의해 참이 된다."라는 견해를 비판적으로 다루면서, 언어와 경험 세계가 분리되지 않는다는 홀리스틱 관점을 제시합니다. 콰인은 이어지는 또 다른 논문에서도 루돌프 카르납이 내세운 '논리적 진리'란 개념이 얼마나 모호한지 설명하고 분석적, 종합적 구분에 대한 회의를 내비칩니다. 카알 헴펠은 직관주의와 논리주의, 형식주의가 각각 수학적 진리가 어떻게 확보된다고 주장하는지 간결하게 요약하고, 앙리 푸엥카레는 "수학은 단순히 논리적 도출만으로 이루어지지 않는다."는 점을 내세워 직관적 통찰과 구성 능력의 중요성을 역설합니다. 이어 베나세랖의 또 다른 글 "수학적 진리"는 '서로 다른 집합론적 구성 방식'이 전부 타당할 수 있다면, 과연 진리란 무엇인가 하는 문제를 다시금 제기합니다. 힐러리 퍼트넘은 "모형들과 실재"에서 수학적 모형 이론이 실제 세계나 과학 이론과 맞물리는 지점을 보여주어, 수학적 존재와 물리적 실재의 관계가 단순하지 않다고 주장합니다.
4부는 집합 개념을 본격적으로 다루는 장입니다. 쿠르트 괴델은 러셀의 기여를 다시 평가하면서, 러셀 패러독스를 극복하기 위하여 유형이론이 등장했던 역사적 흐름을 재구성하였습니다. 이어서 괴델이 쓴 "칸토르의 연속체문제는 무엇인가?" 란 논문은 연속체 가설이란 결국 실수 집합의 기수가 어디에 놓이는지를 두고 벌어지는 독립성 문제라는 사실을 설명합니다. 그는 이를 통해 집합론의 공리들이 자명하지 않고, 무모순성 증명으로 해결되지 않는 독립적 진술이 등장할 수 있음을 입증합니다. 조지 불로스와 찰스 파슨스는 "집합의 축차적 구상"이란 개념을 놓고 서로 다른 관점을 제시합니다. 불로스는 집합을 단계적으로 생성한다는 아이디어를 형식화하였으며, 파슨스는 그 방식이 정말 모든 집합의 카지노 게임 사이트를 다 포괄할 수 있는지 비판적으로 검토합니다. 그리고 그 전제가 확장 가능한 단계적 구성인지 아니면, 실재론적인 견해를 전제로 하는지에 대해 흥미로운 고찰을 덧붙였습니다.
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브라질의 호나우두도 박지성 선수도 부상 당했을 때 이런 기분이었겠지!?!!!!?
