미래무료 카지노 게임 온 남자 폰 노이만 (5)
제6장 게임이론이라는 혁명
제6장 게임이론이라는 혁명
인간과 사회를 보는 시선을 뒤짚다
오마르 리틀: “나한테는 총이 있고 너한테는 가방이 있지, 어차피 이건 다 게임이야, 그렇지 않나?” - <더 와이어(The Wire), 2003
노이만은 태생적으로 합리적인 사람이었다. 그와 가까웠던 지인들 사이무료 카지노 게임는 “지나칠 정도로 합리적인 사람”이라는 평가가 지배적이다. 그의 합리적 사고방식을 잘 보여주는 사례가 있다. 딸 마리나가 두 살 아기였을 때, 이혼을 앞둔 노이만과 아내 마리에트는 딸의 양육 지침에 관하여 다음 사항에 동의했다.
일단 마리나가 열두 살이 될 때까지는 어머니와 함께 살면서 휴가는 아버지와 함께 보내고, 그 후 이성(理性)의 시대인 사춘기에 접어들면 아버지와 함께 살면서 그의 천재성무료 카지노 게임 파생되는 모든 혜택을 누린다.
훗날 마리나는 이렇게 회고했다. “매우 사려 깊은 선의의 합의였습니다. 하지만 제 부모님은 사람의 한평생 중 이성무료 카지노 게임 제일 거리가 먼 시기가 바로 사춘기라는 걸 몰랐어요. 그 정도로 경험이 없었던 거지요.”
게임이론은 인류 역사상 가장 “무질서하고 비이성적이었던” 시기에 복잡다단한 현실 세계의 문제를 깔끔한 수학 논리로 해결하고 싶은 노이만의 열정무료 카지노 게임 탄생했다. 게임이론의 해답은 가끔 냉정하고 파격적이면서 사람의 복잡한 감정을 전혀 고려하지 않은 것처럼 보이지만, 이 모든 단점에도 불구하고 매우 효과적이다.
마리나(Marina von Neumann Whitman, 1935~)는 훗날 뛰어난 경제학자가 되어 대통령 경제자문위원회무료 카지노 게임 최초의 여성 위원으로 활약했으니, 노이만 부부의 양육 지침도 게임이론 못지않게 효과적이었던 셈이다.
게임이론이란 무엇인가?
노이만은 제2차 세계대전 중 폴란드 태생의 영국인 수학자 제이콥 브로노우스키(Jacob Bronowski)와 함께 런던무료 카지노 게임 택시를 타고 가다가 이 용어를 언급한 적이 있다. 브로노우스키는 그의 저서 『인간 등정의 발자취(The Ascent of Man)』무료 카지노 게임 노이만과 나눴던 대화를 다음과 같이 소개했다.
체스광이었던 나는 그에게 물었다. “그 게임이론이라는 게, 일종의 체스 같은 겁니까?” 그러자 노이만이 손사래를 치며 말했다. “아뇨, 전혀 아니에요. 일단 체스는 게임이 아닙니다. 그건 정확하게 정의된 계산의 한 형태일 뿐이죠. 플레이어가 둔하면 해답을 못 찾을 수도 있지만, 이론상으로는 어떤 위치무료 카지노 게임건 올바른 답이 존재하니까요. 하지만 진짜 게임은 그렇지 않습니다. 실제 세상은 그런 식으로 돌아가지 않아요. 우리가 사는 현실 세계는 과장된 허풍과 소소한 기만전술, 그리고 ‘다른 사람은 내 행동을 어떻게 생각할까?’라는 자문自問 등으로 이루어져 있습니다. 이런 것이 바로 제가 생각하는 게임이론의 요소들이지요.”
현실 세계무료 카지노 게임 일어나는 갈등을 이런 식으로 분석한 사람은 노이만이 처음이 아니었다. 현대 게임이론 교과서에는 노이만의 말대로 체스가 별다른 역할을 하지 않지만, 독일과 오스트리아-헝가리의 수학자들이 갈등의 심리학을 이론화하는 데 가장 큰 영감을 준 것은 ‘왕들의 게임’이었다. 노이만은 그런 수학자들 중 한 사람이었을 뿐이었다.
체스 선수들 중 가장 유명한 사람은 아마도 1894년부터 27년 동안 세계 챔피언 타이틀을 보유했던 프러시아의 전설, 에마누엘 라스커(Emanuel Lasker)일 것이다. 하지만 그가 가장 좋아했던 것은 체스가 아니라 수학이었다. 라스커는 베를린과 하이델베르크, 그리고 괴팅겐무료 카지노 게임 수학을 공부했고. 힐베르트는 그를 각별히 챙겨주었다.
하지만 유태인이었던 그는 독일무료 카지노 게임 안정적인 일자리를 구하기가 어려웠기에, 졸업 후 한동안 맨체스터와 뉴올리언스무료 카지노 게임 임시 강사직을 전전하다가 결국 수학을 우선순위무료 카지노 게임 살짝 제쳐놓고 체스로 생계를 꾸리기 시작했다.
[체스를 두는 에마누엘 라스커(맨 왼쪽 아래) 출처 구글 이미지]라스커는 『체스 입문서』무료 카지노 게임 “경쟁의 원리를 설명하는 과학은 첫 단계무료 카지노 게임 약간의 성공을 거두는 즉시 아무도 말릴 수 없을 정도로 빠르게 발전할 것”이라고 예측하면서, “끔찍한 딜레탕티즘(diletantism)으로부터 대중을 구하고 정치를 완전히 개혁하여 인류에게 진보와 평화를 가져다줄 수 있는 유능한 교사를 양성해야 한다. 그들의 궁극적 역할은 “합의에 도달할 수 있는 합리적인 방법을 제공하여 전쟁 자체를 무용지물로 만드는 것”이라고 기술했다.
그가 추구한 ‘경쟁의 과학’은 그 다음 해 말에 첫발을 내딛게 된다. 1926년 12월 7일, 노이만은 괴팅겐의 수학자들 앞무료 카지노 게임 최대최소 정리(minimax theorem)를 증명했다. 이 내용을 담아 1928년에 출판한 논문 「응접실 게임의 이론적 분석(On the Theory of Parlour Games)」무료 카지노 게임, 노이만은 게임이론의 학문적 기반을 구축하고 사람들 사이의 협동과 갈등 관계를 수학적으로 분석했다.
“모든 인간은 완벽하게 합리적으로 사고한다”
최대최소 정리를 증명한 노이만의 논문은 게임의 전략을 가장 근본적인 단계무료 카지노 게임 파헤치는 것으로 시작된다. 카드 게임 중 하나인 러미(rummy)[손에 든 카드를 조합하여 특정 배열(족보)을 만들어서 일찍 내려놓은 사람이 이기는 게임. 기본 규칙은 훌라(hula)와 비슷하다]를 예로 들어보자.
이런 게임무료 카지노 게임 최선의 결과를 얻으려면 어떤 전략을 구사해야 할까? 노이만의 설명은 다음과 같다. “모든 플레이어는 자신뿐만 아니라 다른 플레이어에게도 영향을 미친다. 게임 중에는 자신이 들고 있는 카드에만 온 정신을 쏟는다 해도, 그 결과는 결코 독립적일 수 없다(세상만사가 다 그렇다!). 그러므로 최선의 결과를 얻으려면 족보에 연연하지 말고 플레이어들끼리 주고받는 영향을 분석해야 한다.”
노이만은 설명이 길어지는 것을 피하기 위해, 플레이어가 단 두 명뿐인 제로섬(zero-sum) 게임을 예로 들었다. 요즘 제로섬 게임이 일상적인 용어로 자리 잡은 것만 봐도, 노이만의 게임이론이 후대에 얼마나 큰 영향을 미쳤는지 짐작할 수 있을 것이다.
게임의 규칙을 조금 바꿔서, 두 사람이 상대방의 전략을 미리 알 수 있다고 가정해 보자. 노이만의 게임이론에는 “모든 참가자는 완벽하게 합리적인 사고를 한다”는 가정이 깔려 있다. 노이만은 그의 논문무료 카지노 게임 2인 제로섬 게임과 유사한 모든 게임에 ‘해답’이 존재한다는 것을 증명했다. 오직 자신만을 위해 합리적 선택만을 하는 적을 대상으로 최선의 이득을 거두는 전략을 찾은 것이다.
게임이론의 선구자 중 한 사람인 프랑스의 수학자 에밀 보렐(Émil Borel)은 1920년대 초에 게임이론을 주제로 여러 편의 논문을 발표했는데, 그가 정의한 ‘최선의 전략(완벽하게 합리적인 게이머가 상대방을 이기거나, 지더라도 손실을 최소화하는 전략)’은 노이만과 크게 다르지 않았다. 하지만 그는 2인 제로섬 게임에 일반해(general solution)가 존재하지 않는다고 결론지었다.
보렐의 논문은 프랑스 수학자인 모리스 프레셰(Maurice Fréchet)가 미국의 수학자 레너드 새비지(Leonard Savage)의 도움을 받아 영어 번역본을 출간한 후부터 널리 알려지기 시작했는데, 이 번역본에 첨부된 해설서무료 카지노 게임 프레셰는 ‘보렐이 게임이론의 창시자’라고 주장했다.
노이만은 프레셰의 글을 읽고 몹시 분노했다. 조지 버코프와 쿠르트 괴델에게 뒤통수를 세게 얻어맞았던 그였기에, 게임이론의 창시자라는 타이틀만은 포기할 생각이 없었다. 사실 노이만은 게임이론의 해를 유도할 때 보렐이 논문을 썼다는 사실조차 모르고 있었다.
지금도 프랑스를 제외한 대부분의 나라무료 카지노 게임는 노이만의 1928년 논문을 게임이론의 초석으로 인정하고 있다.이 논문무료 카지노 게임 노이만이 제시한 증명의 핵심은 ‘혼합전략(mixed strategies)’인데, 나중에 그가 이 개념을 설명하기 위해 도입한 2인 제로섬 게임이 바로 ‘동전 짝맞추기(Matching Pennies)’ 게임이다.
노이만의 유일한 박사학위 과정 제자였던 이즈라엘 핼퍼린(Israel Halperin)은 노이만을 ‘마법사’라고 불렀다. “그는 대수학이건 기하학이건 또는 그 무엇이건 간에, 한번 손에 들어오면 무조건 논리적인 결론을 이끌어내야 직성이 풀리는 사람이었다.” 헝가리의 수학자 로자 피터(Rózsa Péter)의 평가는 훨씬 파격적이다. “대부분의 수학자들은 증명이 가능한 것을 증명하는데, 노이만은 자신이 원하는 것을 증명했다.”
최대최소 정리에 대한 노이만의 증명이 바로 이런 경우에 속한다. 그는 “모든 2인 제로섬 게임무료 카지노 게임 단순전략 또는 혼합전략에 해당하는 해가 항상 존재한다”는 것을 증명하기 위해, 복잡하기 그지없는 대수학적 논리를 무려 6페이지에 걸쳐 불도저처럼 밀고 나갔다.
우리에게 친숙한 대부분의 게임무료 카지노 게임 이기려면 혼합전략(매번 전략을 바꾸는 방법)을 구사해야 한다. 이 세상 모든 타짜들이 알고 있듯이, 예측 불가능한 요소는 상대방을 혼란스럽게 만든다.
자신의 논문에 담긴 의미를 누구보다 깊이 이해했던 노이만은 다음과 같은 설명으로 화려한 피날레를 장식했다. “수학을 통해 내려진 결론과 경험적 사실(예를 들면 포커무료 카지노 게임 적절한 블러핑(bluffing)이 효과적이라는 사실)이 일치한다는 것은 우리의 이론이 이미 실험적으로 검증되었음을 보여주는 확실한 증거이다.”
모든 사건은 게임이다
오늘날 게임이론은 경제학의 한 분야로 널리 알려져 있지만, 노이만의 1928년 논문에는 둘 사이의 연결고리가 서운할 정도로 간략하게 언급되어 있다. “어떤 일이건 간에, 각 참가자들에게 미치는 영향에 주안점을 두고 바라본다면 모든 사건은 전략 게임으로 간주할 수 있다.”
노이만은 참가자들 사이에 오가는 상호작용을 ‘고전 경제학의 핵심 문제’로 간주했다. “이 세상에 오로지 자기 자신밖에 모르는 ‘호모 이코노미쿠스(homo economicus)’는 주어진 외부 환경에 어떻게 반응할 것인가?”
이후 노이만은 다른 각도무료 카지노 게임 경제학을 분석했는데, 그 출발점은 1932년에 프린스턴무료 카지노 게임 “특정 경제 방정식과 브라우어의 고정점 정리의 일반화에 관하여(On Certain Equations of Economics and a Generalization of Brouwer’s Fixed-Point Theorem)”라는 제목으로 진행된 그의 세미나였다.
그로부터 4년 후에 빈 대학교무료 카지노 게임 동일한 주제로 강연 요청이 들어왔고, 노이만은 제대로 된 강의 노트를 준비했다. 9페이지에 걸쳐 글자와 문자가 빼곡하게 들어찬 이 노트는 1937년에 연구회의록(proceedings)으로 출판되었고, 1945년에 영문판으로 출간되었다.
오늘날 ‘확장경제모형(Expanding Economic Model)’으로 알려진 그의 경제 이론은 생산과 소비, 그리고 퇴화가 반복되면서 경제가 ‘동적 평형(dynamic equilibrium)’을 향해 나아가고, 이 과정무료 카지노 게임 경제가 ‘자연스럽게’ 최대 성장률에 도달한다는 것을 골자로 하고 있다.
이 모형에 의하면 경제가 평형에 도달했을 때 모든 상품은 최저가에 최대량으로 생산된다. 과거의 경제 모형은 평형점이 존재한다는 것을 아무런 증명 없이 그냥 가정하고 넘어갔다. 그러나 노이만은 “(예를 들어) 노동력을 무한히 공급할 수 있고 생활비를 초과한 수입은 모두 재투자된다”는 가정을 포함한 일련의 경제적 공리무료 카지노 게임 출발하여 평형점이 나타난다는 것을 성공적으로 증명했다.
노이만의 증명은 네덜란드의 수학자 베르투스 브라우어(Bertus Brouwer, 1881~1966)가 개발한 위상수학(topology) 중 ‘고정점 정리(fixed-point theorem)‘기초한 것이다. 브라우어는 평소 ‘직관주의intuitionism’를 주장하며 힐베르트를 무던히도 괴롭혔던 사람이다.
그가 증명한 ‘고정점 정리’에 의하면 특정 함수의 경우 함수에 입력된 숫자와 그 출력에 해당하는 함숫값이 같은 경우가 적어도 하나 이상 존재한다. 이런 함수를 직교좌표에 그래프로 그렸을 때, 고정점무료 카지노 게임는 x와 y의 값이 같다(함수 y=f(x)=x는 모든 점이 고정점이다).
이를 시각화하는 한 가지 방법은 같은 지역이 그려져 있으면서 축척만 다른 2개의 지도를 포개는 것이다. 두 지도를 포개놓고 적당한 위치에 핀을 꽂았을 때, 핀으로 뚫린 지점이 두 지도상무료 카지노 게임 동일한 지점인 경우가 적어도 하나 이상 존재한다. 이것은 둘 중 하나의 지도를 임의의 방향으로 회전시켜도 항상 성립한다.
노이만은 자신이 제안한 모형이 실물경제의 자세한 시뮬레이션이 아니라 대략적인 비유일 뿐이라고 했다. 경제에 대한 연구가 세부사항을 다룰 수 있을 정도로 충분히 발달하지 않았다고 느꼈기 때문이다.
1947년에 노이만은 친구에게 다음과 같이 속마음을 털어놓았다. “만일 이 논문이 수백 년 후에 발견된다면, 발견자들은 1900년대 중반이 아니라 뉴턴 시대에 출간된 논문으로 생각할 거라고. 지금 경제학무료 카지노 게임 사용하는 수학이 그 시대의 수학이거든. 물리학 같은 과학과 비교하면 경제학은 수백만 킬로미터쯤 뒤처진 것 같아.”
대부분의 경제학자들이 잘 이해하지 못하고 비난을 퍼부었지만, 노이만의 논문을 이해했던 영국의 수리경제학자 데이비드 챔퍼나운(David Champernowne)은 “경제학 이론무료 카지노 게임도 고도로 일반화된 문제임에도 불구하고 우아한 수학적 해를 찾아냈다”고 칭찬하면서도, “원하는 결과를 유도하기 위해 지나치게 인위적인 가정을 내세웠다”며 일침을 놓았다.
경제학자들의 냉담한 반응에도 불구하고, 노이만의 ‘일반적 경제 균형의 모형(A Model of General Economic Equilibrium)’은 경제학계에 일대 혁명을 불러일으켰다. 노이만의 논문에 자극받은 수학자들은 너나 할 것 없이 경제 분야로 뛰어들어 암울했던 과학에 새로운 방법을 적용하기 시작했고, 1950년대에는 고정점 정리로부터 경제학의 핵심적 결과가 줄줄이 증명되었다. 드디어 수리경제학의 시대가 열린 것이다.
노이만의 영향을 받아 이 분야에 투신해서 노벨상을 받은 사람은 무려 여섯 명이나 되는데, 케니스 애로(Kenneth Arrow)와 제라르 드브뢰(Gérard Debreu)는 자유시장경제의 거동을 모형화한 일반균형이론으로 각각 1972년과 1983년에 노벨 경제학상을 받았다.
또한 영화 〈뷰티풀 마인드Beautiful Mind〉의 주인공으로 유명한 존 내시(John Nash, 1928~2015)도 노이만의 경제 이론을 발전시킨 내시 균형(Nash Equilibrium)의 개념을 정립하여 1994년에 노벨 경제학상을 수상했다.
[존 내쉬와 영화 '뷰티풀 마인드' 출처 구글 이미지]노이만이 프린스턴무료 카지노 게임 세미나를 하고 거의 반세기가 지난 후, 미국의 역사학자 로이 와인트라웁(Roy Weintraub)은 노이만의 논문을 "수리경제학 역사상 가장 중요한 업적"으로 평가했다.
1928년에 최대최소 정리를 증명한 후 노이만이 10년도 넘은 후에 다시 게임이론으로 돌아오는 데 중요한 역할을 한 사람은 그의 가까운 독일인 친구이자 경제학자인 오스카 모르겐슈테른(Oskar Morgenstern, 1902~1977)이었다.
모르겐슈테른과 폰 노이만
모르겐슈테른은 참으로 유별난 사람이었다. 커다란 키에 다소 오만한 성격의 소유자였던 그는 항상 깔끔한 정장 차림에 자동차 대신 말을 타고 프린스턴 거리를 누비고 다녔다.
1902년 1월 24일에 독일의 괴를리츠무료 카지노 게임 태어난 그는 프러시아의 슐레지엔 지방무료 카지노 게임 어린 시절을 보낸 후 오스트리아무료 카지노 게임 교육을 받았다. 어머니가 독일 황제 프리드리히 3세(Frederick III)의 사생아라는 사실을 자랑스럽게 여겼던 그는 미국으로 이주한 후에도 할아버지 황제의 초상화를 거실에 항상 걸어두었다고 한다.
1925년, 23세의 모르겐슈테른은 빈 대학교무료 카지노 게임 박사학위 논문을 제출했다. 논문을 심사했던 교수들은 그의 명쾌하고 뚜렷한 논지에 깊은 감명을 받아 록펠러 재단의 후원을 받도록 연결해주었고, 모르겐슈테른은 그 후 3년 동안 영국과 미국, 프랑스, 이탈리아 등지를 여행하며 견문을 넓혔다.
모르겐슈테른은 연구 지원을 받는 동안 경기 순환의 원리를 깊이 파고들었다. 그러나 수학적 사고에 어느 정도 익숙해진 모르겐슈테른은 1928년에 발표한 논문을 통해 경기를 예측하는 것이 원리적으로 불가능하다고 주장했고, 평론가들은 학계의 시류를 거스르는 그의 논문에 부정적인 반응을 보였다.
그런데 다음 해에 월스트리트무료 카지노 게임 주가 폭락 사태가 발생했고, 떨어지는 주가만큼이나 모르겐슈테른의 인지도는 하루가 다르게 높아졌다. 모르겐슈테른의 요지는 경기 예측이 기업과 대중들에게 영향을 미치고, 이들의 집단적 반응이 그 예측을 빗나가게 만든다는 것이었다.
정부 당국무료 카지노 게임 이런 사태를 예상하고 다른 예측을 내놓으면 똑같은 이유로 또다시 빗나간다. 모르겐슈테른은 이처럼 예측과 반예측이 반복되는 순환 과정의 '풀 수 없는 문제'의 사례를 아서 코넌 도일(Arthur Conan Doyle)의 소설 『마지막 사건(The Final Problem)』무료 카지노 게임 발견했다.
여기, 꽤 적절하면서도 흥미로운 비유가 있다. 숙적 모리어티 교수에게 쫓기던 셜록 홈스는 런던무료 카지노 게임 도버로 가는 기차에 올라탄다. 이 기차는 중간의 다른 역에도 정차하는 완행열차였는데, 홈스는 도버까지 가지 않고 도중에 내린다. 기차를 타기 전에 런던 빅토리아역무료 카지노 게임 모리어티 교수를 봤는데, 똑똑한 그가 급행열차를 타고 도버에 먼저 도착하여 자신을 기다릴 것이라고 생각했기 때문이다. 소설무료 카지노 게임는 홈스의 판단이 옳았다. 하지만 모리어티 교수가 홈스보다 똑똑해서 홈스가 도중에 내릴 것을 미리 예측했다면 어떻게 될까? 이런 경우라면 모리어티 교수도 당연히 도중에 내릴 것이다. 그런데 너무나 똑똑해서 이런 경우까지 예측한 홈스는 도중에 내리지 않고 도버까지 갔고, 또 이것을 예측한 모리어티 교수도 도버까지 갔다. 그러나 이것마저 예측한 홈스는 도중에 내리기로 했고. 또 이것을 예측한 모리어티 교수는 ..이런 식으로 계속 맴돌다 보면 결국 "아무런 행동도 취하지 않는 게 낫다"는 결론에 도달하게 된다. 결국 두 사람은 생각을 너무 많이 하다가 기차를 타지 못하고, 둘 중 조금이라도 덜 똑똑한 사람이 빅토리아역무료 카지노 게임 상대방에게 잡힐 것이다. 이와 비슷한 사례는 우리 주변무료 카지노 게임 흔히 볼 수 있는데, 대표적 사례가 바로 체스다. 단, 체스는 복잡한 규칙에 따라 진행되기 때문에 상황이 훨씬 복잡하다.
그는 1928년부터 오스트리아 태생 영국인 경제학자 프리드리히 하이에크(Friedrich Hayek, 1974년 노벨 경제학상 수상)와 함께 빈에 있는 오스트리아 경기변동연구소(Trade Cycle Institute)의 공동 소장직을 맡고 있었는데, 하이에크는 1931년에 런던경제학교로 자리를 옮겼다.
1938년 1월, 모르겐슈테른은 카네기 국제평화재단으로부터 한동안 미국무료 카지노 게임 강의를 해달라는 요청을 받았다. 미국무료 카지노 게임 강의 중이던 모르겐슈테른은 자신이 게슈타포(나치 비밀경찰)의 블랙리스트에 올랐다는 소식을 전해 듣고 오스트리아로 돌아가지 않기로 결심했다.
그는 프린스턴 고등연구소에 있는 노이만을 만나고 나중에 그 곳에 들어갈 수 있기를 기대하며 다른 대학들이 제안한 교수직 대신 프린스턴 대학교의 강사직을 택했다. 이후 그는 열다섯 살 연하의 빨간 머리 은행원 도러시 영과 결혼하여 점잖은 동네에 파문을 일으켰고, 그해 학기가 끝난 직후에 드디어 노이만을 만날 수 있었다.
[프린스턴무료 카지노 게임의 모르겐슈테른과 노이만 출처 본문]『게임이론』, 수학으로 세상을 보다
당대 최고의 수학자에게 인정받기를 간절히 원했던 모르겐슈테른은 수시로 노이만을 찾아가 자신의 이론에 대한 노이만의 의견을 물었고, 얼마 후 두 사람은 각자의 연구 주제를 서로 비교하다가 공통점을 발견했다. 알고 보니 모르겐슈테른의 ‘풀 수 없는 문제’는 노이만의 게임이론으로 다룰 수 있는 문제였다.
노이만은 자신의 이론을 “플레이어가 세 명 이상인 일반적인 경우”로 확장하는 작업에 착수했다. 모르겐슈테른도 경제학자들에게 게임이론을 소개하는 논문을 쓰기 시작했고, 1941년 7월 12일에 노이만이 공동 집필을 제안했을 때에는 세상을 다 얻은 듯 기뻐했다.
하지만 100페이지 정도 분량에 몇 주면 끝날 것 같았던 일이 몇 달로 길어졌다. 게다가 이제 막 탄생한 게임이론의 기술적 측면에 기여하기가 힘에 부쳤던 모르겐슈테른은 경제학 분야무료 카지노 게임 조언을 하거나 간간이 흥미로운 질문을 던지는 등, 노이만을 보조하는 역할로 만족해야 했다.
그러나 두 사람이 붙어 다니는 모습에 누구보다 질린 사람은 노이만의 아내 클라라였다. 평소 취미 삼아 코끼리 장식품을 수집하던 그녀는 “그 책에 코끼리가 등장하지 않았다면 나와는 완전히 무관한 책이 되었을 것”이라고 했다. 아닌 게 아니라, 이 책의 8.3절에 제시된 집합론 다이어그램에는 코끼리가 절묘하게 숨어 있다.
[코끼리를 숨기는 방법 - '게임이론' 출처 본문]나날이 늘어나는 책의 분량에 지레 겁을 먹은 프린스턴 출판부무료 카지노 게임는 당장 프로젝트를 중단하라고 압력을 가해왔다. 그러나 두 사람은 끈질기게 연구를 밀어붙인 끝에 1943년 4월에 사회과학의 새로운 지평을 연 최고의 명저 『게임이론과 경제 행위(Theory of Games and Economic Behavior)』(이하 『게임이론』)의 1,200페이지짜리 '소책자'를 탈고하여 편집자의 책상 위에 '쿵!'하는 소리와 함께 배달되었다.
이 책무료 카지노 게임 모르겐슈테른이 가장 많이 기여한 부분은 전체적인 내용을 소개하는 서문(Introduction)인데, 그는 이 글을 쓰면서 자신이 쌓아온 경력에 대한 환상무료 카지노 게임 완전히 깨어났다고 한다. 또한 존 메이너드 케인스(John Maynard Keynes)에게도 직격탄을 날렸다. "모든 사람들이 그의 면전에 서기만 하면 바짝 엎드리는데, 사실 그는 경제과학 역사상 최대의 사기꾼이다."
『게임이론과 경제 행위』는 기존 경제학에 대한 비판으로 시작된다. "그들에게 수학은 취약한 기초를 가리는 위장 수단에 불과했다. 경제학자들은 스케일이 크고 중요한 질문을 제기하면서, 후속 논리에 걸림돌이 될 것 같은 요소를 모두 무시해왔다. 그러나 첨단과학의 상징인 물리학의 역사를 돌아볼 때, 이런 성급한 처사는 진보를 방해할 뿐, 아무런 도움도 되지 않는다."
살짝 도발적인 서문이 끝나면 '집합론과 함수해석에 기초한 일련의 증명'이 거의 600페이지에 걸쳐 이어진다(이 부분은 주로 노이만이 집필했다). 『게임이론』의 본론은 개인과 자연이 대치하는 사례무료 카지노 게임 출발한다. 무인도에 표류한 로빈슨 크루소의 경제학이다. 방해할 사람이 아무도 없으니, 크루소는 섬이 허용하는 범위 안무료 카지노 게임 모든 욕망을 충족시킬 수 있다.
그런데 섬에 프라이데이 같은 또 다른 사람이 나타나면 어떻게 될까? 한 사람만 늘어나도 전략은 크게 달라져야 한다. 두 사람이 원하는 항목 중에 겹치는 것이 있으면 당장 충돌이 일어날 것이다. 노이만과 모르겐슈테른은 말한다. "이것은 단순한 최대 문제가 아니라, 몇 개의 최대 문제가 섞인 독특하고도 당혹스러운 문제이다."
노이만과 모르겐슈테른은 이런 상황무료 카지노 게임 미적분 같은 고전적인 수학은 무용지물이라고 선언하면서, "사람들은 위와 같은 유사-최대 문제(pseudo-maximum problem, 최대 문제처럼 보이지만 알고 보면 아닌, 복잡한 문제)를 잘못 이해하여 이룰 수 없는 목표를 설정하거나 엉뚱한 결론을 내리곤 한다"고 지적했다.
"모든 사회적 노력은 최대한 많은 사람들에게 최대한의 이익이 돌아가도록 배분하는 것을 목표로 한다"는 슬로건이 그 대표적 사례이다. 수학적으로 2개(또는 그 이상)의 함수를 동시에 최대화하는 일반적인 방법은 존재하지 않는다.
물론 올바른 접근법은 게임이론무료 카지노 게임 제시한 방법이다. 노이만은 2인 제로섬 게임의 원리를 설명한 후, 플레이어가 3인 이상이면서 손익의 총합이 0이 아닌 게임으로 논리를 확장해나갔다.
무엇보다도, 한 사람이 펼칠 수 있는 '최선의' 전략을 이론 안무료 카지노 게임 명확하게 정의하려면 플레이어가 좋아하는 것과 싫어하는 것을 정량적으로 간단하게 표현할 수 있어야 한다. 당시 주류 경제학자들은 '개인의 선호도를 수치로 나타내는 것은 불가능하며, 단지 순위만 매길 수 있다'고 생각했다.
모르겐슈테른이 이 점을 지적하자, 노이만은 즉석무료 카지노 게임 노트에 공리 하나를 빠르게 휘갈리면서 개인의 호불호를 행복 수치(또는 유용성 수치)로 나타내는 혁명적인 방법을 떠올렸다. 접시에 담긴 수프의 뜨거운 정도를 온도계로 측정하는 것과 비슷한 개념이다.
“사회과학 역사상 가장 중요한 이론이 담긴 책”
'합리적' 플레이어의 '효용이론'
한 개인이 싫어하거나 좋아하는 대상(또는 상황)을 하나도 빠짐없이 목록으로 작성할 수 있을까? 단순하면서도 복잡하고, 아름답고, 추하고, 미묘하고, 절묘하고, 때론 역겹기까지 한 세상무료 카지노 게임, 한 개인이 호불호를 느끼는 종목을 망라하는 것이 과연 가능한 일일까? 노이만은 "가능하다"고 단언한다.
그래서 게임이론은 이 목록이 완벽하게 정의된 개인의 존재를 가정하고 있다.즉 2개의 사물이나 2개의 사건이 주어졌을 때, 종류가 무엇이건 둘중 하나를 항상 선택할 수 있다. 노이만은 이런 '소박한' 가정이 성립하는 한, 모든 대상에 '효용 점수(utility score)'를 매길 수 있다고 주장한다(점수의 단위는 '유틸(util)'이다).
여기서 유틸을 계산하기 위해 '확률' 개념이 등장한다. 예를 들어 생일을 취소하면 100유틸인 천국에 갈 수 있는 복권을 받을 수 있는 상황무료 카지노 게임 생일을 취소할 것인지 여부를 선택 해야 한다면, 그 대가인 복권의 당첨 확률이 중요하다. 즉 당첨 확률이 75%라면 생일 파티는 100 x 0.75 = 75유틸의 가치가 있고, 평소 위험한 투자를 꺼리는 사람이어서 98%의 당첨 확률을 원한다면 생일 파티는 98유틸의 가치가 있는 셈이다.
노이만은 "'합리적(rational)' 사고를 하는 다른 플레이어를 상대로 자신의 이득을 극대화하는 전략을 펼치는 사람이 바로 '합리적인' 플레이어다." 그리고 여기에 효용이론(utility theory)을 적용하면 플레이어가 원하는 모든 것을 숫자로 나타낼 수 있으므로 수학이 엄청나게 단순해진다.
『게임이론』이 출간되고 60여 년이 지난 2011년에, 노벨 경제학상 수상자인 대니얼 카너먼(Daniel Kahneman)은 이 책을 가리켜 "사회과학 역사상 가장 중요한 이론이 담긴 책"이라고 했다. 이 책이 출간된 후 이론의 핵심인 '효용이론'과 '합리적 계산'의 개념은 상아탑을 넘어 모든 분야로 빠르게 퍼져나갔다.
완전 정보형 2인 제로섬 게임의 분석
효용이론으로 기본 무장을 마친 노이만은 2인 게임을 본격적으로 분석하기 시작한다. 노이만은 게임을 표현하는 두 가지 방법을 고안했다. '확장형(extensive form)'과 '정규형(normalized form)'이 바로 그것이다. 두 가지는 원리적으로 동일하기 때문에, 문제의 형태에 따라 편리한 것을 골라서 적용하면 된다.
확장형 표현은 나무와 비슷하다. 모든 움직임(플레이어의 행동)은 '노드(node)'라 불리는 분지점에 대응되고, 하나의 분지점무료 카지노 게임는 플레이어가 취할 수 있는 행동의 수만큼 가지가 갈라져 나간다. 그리고 가지가 끝나는 곳에 달린 '리프(leaf)'에 게임의 최종 결과가 대응되는 식이다('틱택토'나 '체스' 등).
노이만은 체스와 틱택토 게임을 ‘완전정보형 게임(game of perfect information)’이라 불렀다. 모든 움직임이 양쪽 플레이어 모두에게 공개되어 있기 때문이다. 그리고 그는 게임이 영원히 계속되지 않는 한, "완전정보형 2인 제로섬 게임에는 항상 해가 존재한다"는 것을 증명했다.
노이만은 이 정리를 증명하기 위해 ‘역진귀납법(backward induction)’을 사용했다. 게임 다이어그램의 경우, 역진귀납법이란 각 가지의 리프(끝)무료 카지노 게임 시작하여 나무의 본줄기(몸체)에 도달할 때까지 거꾸로 거슬러 올라가면서 ‘비합리적인’ 움직임을 제거해나가는 수학적 과정에 해당한다.
[『게임이론』에 나오는 틱택톡 게임의 수 선택 '확장형' 다이어그램 출처 본문]확장형 표현은 게임이 조금만 복잡해도 다이어그램은 거의 알아볼 수 없는 지경이 되어버린다. 이럴 때는 게임의 득과 실(효용 점수)이 명기된 정규형[또는 전략형(strategic)] 다이어그램이 훨씬 유용하다. 노이만은 몇 가지 사례를 제시했는데, 앞서 언급한 ‘동전 짝맞추기’의 정규형 다이어그램은 아래와 같다.
[동전 짝맞추기 '정규형' 배점표 출처 본문]언뜻 보기에 동전 짝맞추기와 완전히 다른 것 같으면서도, "알고 보면 2인 제로섬 게임인 경우"가 종종 있다. 노이만은 이것을 보여주기 위해 모르겐슈테른이 말했던 ‘불가능한 문제’, 즉 코넌 도일의 소설을 다시 소환하여 홈스와 모리어티 교수가 펼칠 수 있는 가장 이상적인 전략과 홈스가 탈출에 성공할 확률을 계산했다.
노이만은 모리어티 교수가 도버나 캔터베리무료 카지노 게임 홈스를 잡으면 100유틸을 획득하고, 모리어티가 캔터베리무료 카지노 게임 내렸는데 홈스가 도버에 도착하여 유럽 대륙으로 탈출하는 데 성공하면 50유틸을 잃는 것으로 설정했다(런던을 서울에, 도버를 부산에 비유하면 캔터베리는 대구쯤 된다).
그리고 모리어티 교수가 런던무료 카지노 게임 급행열차를 타고 도버까지 갔는데 홈스가 캔터베리무료 카지노 게임 하차하여 모리어티의 추격을 따돌린다면 이 게임은 무승부가 된다. 왜냐하면 홈스는 대륙으로 탈출하지 못했고, 모리어티 교수는 홈스를 잡지 못하여 추격전이 계속될 것이기 때문이다.
[모리어티와 홈스의 전략 '정규형' 배점표 출처 본문]이 경우 (*수학적 확률로 계산하면) 모리어티에게 최선의 전략은 60퍼센트의 확률로 도버까지 가고, 40퍼센트의 학률로 캔터베리무료 카지노 게임 내리는 것이다. 이렇게 하면 홈스가 어떤 선택을 하건 모리어티에게 주어질 평균 효용 점수는 40유틸이 된다.
그러나 홈스의 입장무료 카지노 게임 최선의 전략은 이와 정반대이다. 즉 60퍼센트의 확률로 캔터베리무료 카지노 게임 내리고, 40퍼센트의 확률로 도버까지 가야 한다. 코년 도일의 소설 '마지막 사건'은 캔터베리무료 카지노 게임 내린 홈스가 역에 쌓여 있는 화물 더미 뒤에 숨어서 모리어티를 태우고 달리는 급행열차를 바라보는 것으로 일단락된다.
노이만의 분석무료 카지노 게임는 두 사람 모두 개연성이 가장 높은 경우를 선택하지만, 확률은 모리어티에게 유리한 쪽으로 설정되어 있다. 그의 가정에 의하면 기차가 빅토리아역무료 카지노 게임 출발할 때 셜록 홈스가 잡힐 화률은 48퍼센트이고, 추격을 따돌릴 확률은 16퍼센트밖에 안 된다.
어쨌거나 노이만은 모르겐슈테른이 "풀 수 없는 문제"라고 단언했던 문제를 깔끔하게 해결했고, 입장이 난처해진 모르겐슈테른은 책의 각주에 "내가 고수해왔던 비판적 견해를 철회한다"고 적어 놓았다.
포커판에 앉은 노이만
불완전 정보형 2인 제로섬 게임의 분석
노이만은 1928년에 게임이론 논문을 탈고한 후 “게임이론의 관점무료 카지노 게임 포커를 분석하여 발표할 것”이라고 약속한 적이 있다. 그리고 그로부터 15년이 지난 후, 그는 약속을 지켰다. 다들 알다시피 포커는 시종일관 다른 플레이어의 카드를 볼 수 없는 상태무료 카지노 게임 진행되기 때문에, 체스와 달리 ‘불완전 정보형 게임(game of imperfect information)’이다.
노이만은 문제가 처음부터 복잡해지는 것을 방지하기 위해, 플레이어가 단 두 명인 포커 게임을 분석 대상으로 삼았다. 사실 노이만의 『게임이론』의 3분의 1은 2인 제로섬 게임에 관한 내용이다.
표준 포커 게임은 각 플레이어에게 다섯 장의 카드를 나눠주면서 시작되는데, 노이만은 이것을 점수로 환산하여 “각 플레이어는 처음 5장을 받는 순간 족보(원페어, 투페어, 트리플 등등)의 높낮이에 따라 0무료 카지노 게임 100 사이(1~99)의 효용 점수를 얻는다”고 가정했다. 한 플레이어의 5장의 카드의 점수가 66점이면 그는 자신의 족보가 상대방보다 높을 확률이 두 배 크다고 생각할 것이다. 그 생각은 실제로 옳다(66점짜리 카드 배열보다 족보가 높은 카드 배열은 33가지이고, 낮거나 같은 카드 배열은 66가지이기 때문이다).
그가 정의한 포커 게임무료 카지노 게임는 카드를 바꿀 수 없고, 베팅은 단 한 번만 할 수 있으며, 베팅액수는 ‘하이high 베팅(액수가 큰 베팅)’에 해당하는 H파운드와 ‘로low 베팅(액수가 적은 베팅)’에 해당하는 L파운드 중 하나만 선택할 수 있다. 따라서 H와 L의 차이가 클수록 게임의 위험도가 높아진다.
두 플레이어는 5장의 카드를 받은 후 자신의 베팅 의사를 동시에 밝힌다. 둘이 같은 베팅을 하면 카드를 비교해서 이긴 쪽이 해당 H 내지 L파운드를 가져가면 되고 무승부이면 회수하거나 쌓아두고 다음 게임으로 넘어 간다. 두 사람의 베팅이 다르면 로 베팅을 한 사람은 카드를 공개하지 않은 채 자신이 베팅한 L파운드를 상대방에게 양보하고 ‘패스pass’를 선언하거나, 자신의 베팅을 하이로 바꿔 승부를 겨룰 수 있다.
이 경우 노이만은 두 플레이어의 최대최소 전략이 “점수가 높은 카드를 손에 들고 하이 베팅을 하는 것”이라고 했다. 물론 당연한 이야기다. 하이 베팅을 해도 되는 점수의 임계점, 즉 점수의 하한선은 하이와 로에 걸린 돈(H와 L)의 상대적 크기에 따라 결정된다.
그런데 “임계점수보다 낮은 카드를 받은 플레이어는 어떤 전략을 구사해야 할까?” 그의 설명에 따르면 이런 플레이어는 로 베팅을 하는 것이 안전하지만, 가끔은 낮은 패임에도 불구하고 하이 베팅을 할 필요가 있다. 즉 가끔은 블러핑을 시도할 필요가 있다는 것이다. 블러핑의 이상적인 빈도수는 H와 L의 비율에 따라 달라진다.
그러나 똑똑한 플레이어는 평소 블러핑을 하지 않는 상대가 하이 베팅을 할 때마다 패스를 외치고 자신은 블러핑을 자주 시도할 것이다. 영국의 수학자 켄 빈모어는 말한다. “블러핑의 핵심 기능은 낮은 패로 상대방을 이기는 것이 아니라, 당신의 패가 좋을 때 그저 그런 패를 든 상대방이 끝까지 따라오도록 부추기는 것이다.”
[H파운드가 L파운드의 세 배인 경우 이상적인 전략]게임이론을 현대의 경제 시스템에 적용할 수 있을까?
2인 제로섬 게임에 대한 노이만의 자세한 설명은 포커를 끝으로 마무리된다. 그는 게임이론의 공리를 제시하고 ‘게임’과 ‘전략’ 같은 단어를 자신의 이론에 맞게 재정의했으며, 1928년에 발표했던 논문보다 훨씬 기본적인 단계무료 카지노 게임 최대최소 정리를 증명했다.
『게임이론』의 나머지 부분무료 카지노 게임 노이만은 지금까지 얻은 결과를 여러 사람이 참여하는 ‘다중 게임’과 상호 이익(mutual benefit, 2인 이상이 동시에 이득을 얻는 것)이 가능한 상황으로 확장시켰다.
다중 게임과 비제로섬 게임(non-zero sum games)을 다루려면, 이들을 2인 제로섬 게임으로 단순화하는 방법부터 찾아야 한다. 노이만의 최대최소 정리에 의하면 이런 게임에는 항상 해가 존재하므로, ‘가짜’ 2인 게임을 분석하면 진짜와 가짜를 다루는 최선의 방법이 드러날 수도 있다.
3인~5인 전략 게임의 분석
노이만이 출발점으로 삼은 것은 세 사람으로 진행되는 ‘3인 전략게임’이었다. 세 사람이 서로 이기려고 경쟁하는 상황무료 카지노 게임는 1등을 하기 위해 처음부터 기를 쓰는 것보다, 두 명이 연합해서 나머지 한 명을 먼저 제거한 후 2인 게임을 벌이는 것이 훨씬 효과적이다.
그런데 사전에 결탁한 상대가 약속을 지킨다는 것을 어떻게 확신할 수 있는가? 그 약속이 이행되기 위해 어떤 장치가 필요한가? 노이만은 말한다. “대부분의 게임은 공정한 규칙에 따라 진행되지만, 참가자의 행동은 반드시 공정하다는 보장이 없다. 그리고 모든 협상은 일종의 게임으로 간주할 수 있다.”
플레이어가 세 명일 때 가능한 2인 연합은 세 가지가 있다(A+B, A+C, B+C). 노이만은 자신의 이론이 적용되는 대상을 ‘정적 1회성 게임(static one-off game)’으로 한정했지만, 노이만의 이론으로는 실제로 어떤 연합이 형성될지 예측할 수 없어, 결국 많은 경우 안정적이고 유일한 해를 구할 수 없다는 것을 인정해야 했다.
그 대신 노이만과 모르겐슈테른은 “현실 세계에는 특정 시대나 특정 지역의 문화적 규범처럼 ‘이미 확립된 사회적 질서(established order of society)’가 존재하기 때문에, 특별한 형태의 연합은 안정적으로 유지될 수 있다”고 주장함으로써 부족한 부분을 보완했다.
다음은 4인 게임을 다룰 차례다. 이 부분무료 카지노 게임 노이만은 몇 가지 특수한 경우(이미 해가 알려진 2인 게임이나 3인 게임으로 축소할 수 있는 경우)를 집중적으로 다루었다(4인 게임의 일반론을 펼치기가 어려웠기 때문이다).
그 후에 등장하는 5인 게임은 훨씬 더 제한적이어서, 노이만은 전략에 대한 보상이 그 전략을 펼친 사람과 무관하게 다른 전략에 의해 결정되는 ‘대칭 게임(symmetric games)’만 다루었다.
N-게임의 분석
이제 드디어 플레이어의 수가 특별히 정해지지 않은 n-게임에 도달했다. 노이만은 말한다. “n이 큰 경우, 계의 지배 조건을 이해하는 것은 매우 중요하다. 왜냐하면 이것은 게임이론을 경제와 사회에 적용하는 가장 중요한 관문이기 때문이다.” 그러나 그는 “지금 단계무료 카지노 게임는 포괄적이고 체계적인 정보를 얻기 어렵다”고 인정했다.
다음 단계무료 카지노 게임 노이만은 더욱 일반적인 답을 향해 나아가면서, 요즘 게임이론 학자들이 ‘안정적 집합(stable set)’이라 부르는 집합을 정의한다. 이것은 다른 어떤 대안으로도 대치될 수 없는 최상의 해집합으로, 각각의 해는 연합 파트너들 사이의 신뢰를 보장하는 일련의 ‘측면 보상(또는 지원금)’에 해당한다. 어떤 해가 최후의 승자가 될지는 이들 사이에 보편적으로 수용된 ‘표준 행동’에 따라 결정된다.
지금까지 노이만은 제로섬 게임만 다뤄왔다. 그러나 인간의 삶에 오로지 갈등과 충돌만 있는 것은 아니며, 경제 성장은 제로섬 게임이 아니다. 사람들 사이의 경쟁은 가끔 윈-윈 게임(win-win game, 모두가 이득을 보는 게임)으로 끝나기도 하고, 모든 사람이 손실을 보기도 한다.
노이만과 모르겐슈테른은 ‘경제 행위(Economic Behavior)’에 대해 무언가 유용한 결론을 도출하려면 비제로섬 게임을 다루는 방법부터 개발해야 한다는 것을 잘 알고 있었다. 그리고 『게임이론』의 마지막 부분무료 카지노 게임 두 사람은 실제로 그 방법을 제시했다. 그러나 이 부분은 수학적 엄밀함이 결여된 임시방편처럼 보였다.
이 부분무료 카지노 게임 노이만은 수동적인 ‘가상의 플레이어’를 도입했는데, n-제로섬 게임에 이 유령 같은 플레이어를 끼워넣으면 (n+1)-제로섬 게임으로 변형되며, 이 문제는 앞무료 카지노 게임 수백 페이지에 걸쳐 개발한 각종 장치를 이용하여 해결할 수 있다. 이로써 노이만은 게임이론을 가장 단순한 경제 시스템에 적용할 준비를 마쳤다.
게임이론에 대한 경제학자들의 반응
현대에 통용되는 경제 모형은 프랑스의 경제학자 레옹 발라(Léon Walras)의 이론에 기초한 것이다. 일반균형이론의 대부로 알려진 그는 1870년대에 ‘완벽한 경쟁’이라는 가정하에 경제의 동향을 예측하는 방정식을 개발했다(1874년과 1877년에 《순수경제학요론》(Éléments d'économie politique pure)을 출판했다). 또한 발라의 이론무료 카지노 게임 독점이나 과점과 같은 일시적 일탈 행위는 ‘시장의 마법’에 의해 자연스럽게 제거된다.
이에 반해 노이만과 모르겐슈테른이 『게임이론』 집필에 착수했던 1940년대에 경제학자들은 독점 경쟁이 예외적 일탈 행위가 아니라 하나의 규칙임을 깨닫기 시작했다. 『게임이론』은 엄격한 독점금지법이나 견제 장치가 없는 상황무료 카지노 게임 독과점이 잡초처럼 자라는 이유를 설명해준다.
1개 또는 몇 개의 대기업이 시장 지배권을 손에 넣으면 이익을 극대화하기 위해 자신의 큰 덩치를 최대한으로 활용할 것이고, 이들이 적극적으로 담합을 하지 않더라도 노이만과 모르겐슈테른의 ‘연합’이 그랬던 것처럼 소비자 가격을 올릴 것이다. 이런 현상은 노이만의 공리만으로도 충분히 설명 가능하다.
하지만 노이만과 모르겐슈테른의 책무료 카지노 게임 게임이론을 경제에 적용하는 부분은 비교적 간략하게 설명되어 있으며, 주로 1~3인 비제로섬 게임의 결과를 인용했다. 그것도 자세한 설명은 없고, 이론의 잠재력을 감질나게 소개한 정도이다.
1944년에 완성된 노이만과 모르겐슈테른의 『게임이론』 초판은 출간 즉시 매진되었다. 표지에 실린 《뉴욕타임스》의 추천사와 저명한 기자들의 서평이 의외의 베스트셀러를 낳은 것이다. 한 평론가는 “이런 책이 열 권만 더 있으면 경제학은 장족의 발전을 이룰 것”이라고 했다.
그러나 쏟아지는 찬사에도 불구하고 『게임이론』은 경제학자들에게 별다른 관심을 끌지 못했다. 무엇보다도 내용이 지나치게 수학적이라는 것이 문제였다. 게임이론의 온상은 프린스턴의 수학과였는데도, 그곳의 경제학자들조차 적대적인 반응을 보였다. 책을 집필한 저자의 경력도 논란의 불씨로 작용했다. 노이만은 경제학자로서는 아직 아웃사이더였고, 모르겐슈타인은 거만한 태도로 비난을 많이 받고 있었기 때문이다.
사람들이 『게임이론』을 푸대접한 진짜 이유는 “경제 문제를 다루는 이론”으로서 자신의 가치를 충분히 입증하지 못했기 때문이다. 또한 n-게임무료 카지노 게임 제시한 ‘안정적 집합’도 논쟁거리로 떠올랐다. 모든 형태의 다중 게임무료 카지노 게임 누군가가 기존의 계약을 파기해도 피해를 입지 않는 굳건한 연합이 존재할 것인가?
무엇보다 『게임이론』의 가장 큰 맹점은 플레이어들이 연합을 결성할 수 없거나, 연합을 원치 않거나, 연합 자체가 금지된 경우를 고려하지 않았다는 것이다.
그러나 『게임이론』이 제시한 효용성(utility)의 개념과 게임의 엄밀한 서술, 그리고 다양한 표현법 등 노이만이 이룬 위대한 업적은 후대 수학자들이 세울 웅장한 건축물의 주춧돌이 되었다.
자신의 가치를 증명한 게임이론
노이만과 모르겐슈테른의 『게임이론』이 출간되고 50년이 지난 1994년 노벨 경제학상 수상자는 존 내시(그는 수십 년 동안 정신병에 시달리다가 수상 몇 년 전에 건강을 회복했다)와 독일의 게임이론 학자 라인하르트 젤텐(Reinhard Selten), 그리고 헝가리계 미국인 경제학자 존 하사니(John Harsanyi)로 결정되었다.
[출처 구글 이미지]그리고 그 해 게임이론은 자신의 가치를 확실하게 입증했다. 당시 미국 연방통신위원회는 주파수 대역 경매무료 카지노 게임 유찰과 저가 낙찰을 미연에 방지하기 위해 해결책을 공모했고, 게임이론 학자 폴 밀그럼(Paul Milgrom)과 로버트 윌슨(Robert Wilson)이 설계한 ‘동시오름경매(simultaneous ascending auction)’방식의 경매 관리 시스템이 채택되었다(이 이론으로 둘은 2020년 노벨 경제학상 수상).
이 방식으로 인해 1994년 7월에 열린 경매무료 카지노 게임 성공적으로 무선 호출 서비스 공급권이 6억 1,700만 달러에 낙찰되었고, 다음 해에는 《뉴욕타임스》가 “역사상 가장 위대한 경매”라고 극찬했던 정부 주도 경매무료 카지노 게임 99개의 통신 서비스 공급권이 총 70억 달러에 판매되었다.
[2020년 노벨 경제학상 출처 구글 이미지]이후로 수많은 게임이론 학자들이 노벨상의 영예를 안았다. 2005년에는 토머스 셸링(Thomas Schelling)과 로버트 아우만(Robert Aumann)이 충돌과 협동에 관한 연구로 노벨상을 받았고, 협동적 게임이론(cooperative game theory)을 개발한 로이드 섀플리(Lloyd Stowell Shapley)는 89세가 된 2012년에 수상하였다.
2009년에는 노벨 경제학상이 사상 최초로 여성에게 돌아갔다. 주인공인 엘리너 오스트롬(Elinor Ostrom)은 '게임이론'을 이용하여 공동 자원(집단 행동에 의해 쉽게 고갈될 수 있는 공동 자원) 관리법을 개선하기 위해 세계 각지를 돌아다닌 사람으로 유명하다.
그녀는 여러 국가의 지역 주민들이 공동 자원을 보호하는 방법을 추적하다가 네팔무료 카지노 게임 매우 인상적인 현장을 목격했다. 한 농부가 공동 우물의 사용 규칙을 어겼는데, 마을 사람들이 그 벌로 농부가 키우는 소를 ‘소 감옥’에 가두었고, 농부는 소정의 벌금을 지불해야 소를 돌려받을 수 있었다(게임이론 중 '공유지의 비극' 이론).
[2009년 노벨 경제학상 엘리너 오스트롬 출처 구글 이미지]오스트롬처럼, 게임이론의 기본 원칙에 질문을 제기하면 의외의 통찰이 생기는 경우가 종종 있다. 또 한 사람의 노벨 경제학상 수상자이자 심리학자인 대니얼 카너먼(Daniel Kahneman)은 게임이론의 가정, 즉 “인간은 전적으로 합리적이며, 그들의 취향과 선호도는 절대 변하지 않는다”는 가정에 도전장을 내밀었다.
20세기 최고 지성인 중 한 사람인 노이만을 항상 동경해왔다는 카너먼과 그의 동료 아모스 트버스키(Amos Tversky)는 현실 세계무료 카지노 게임 사람들이 무언가를 결정하는 방식을 연구한 끝에 그들만의 ‘전망이론(prospect theory)’을 개발하여, 효용이론의 예측과 일치하지 않는 결과를 얻어냈다.
[아모스 트버스키와 대니얼 카너먼 출처 구글 이미지]2014년도 노벨상 수상자인 장 티롤(Jean Tirole)은 게임이론을 이용하여 소수의 대기업이 지배하는 산업계를 분석했다. 오늘날의 인터넷 경제에 딱 들어맞는 주제이다. 아직까지 경제학무료 카지노 게임 과점(oligopoly)에 대한 이론은 개괄적인 수준이라서, 과점 시장을 이해하고 규제하는 티롤의 이론은 눈여겨볼 만하다.
IT 회사들은 온라인 광고와 시장, 입찰 시스템, 우선 제품 선별 알고리듬 등을 개발하고 정부의 규제보다 앞서 나가기 위해 최고 수준의 게임이론가를 고용해왔는데, 그중무료 카지노 게임도 가장 유용한(그리고 수익성 있는) 응용 분야는 ‘경매 설계(auction design)’이다. 특히 검색 결과에 광고를 같이 띄우는 데 사용되는 키워드의 가격을 효과적으로 결정하려면 이들의 도움이 절실하게 필요하다.
[2014년 노벨 경제학상 장 티롤 출처 구글 이미지]진화게임이론으로의 진화
게임이론이 진출한 분야 중 가장 의외인 곳은 아마도 '동물행동학'분야일 것이다. 이 분야의 선구자 중 한 사람인 윌리엄 해밀턴(William D. Hamilton)은 케임브리지 대학교의 학부생이었던 1950년대 후반에 노이만과 모르겐슈테른의 『게임이론』을 읽은 후로 게임이론에 관심을 갖게 되었다고 한다.
이 분야무료 카지노 게임 해밀턴이 남긴 가장 중요한 업적은 개개의 종種들이 발휘하는 이타심과 관련도(친족 관계) 사이의 상호관계를 수학 모형으로 설명한 것이다. 흔히 ‘포괄 적응도(inclusive fitness)’로 알려진 그의 이론은 리처드 도킨스(Richard Dawkins)의 『이기적 유전자(The Selfish Gene)』를 통해 널리 알려지게 된다.
미국의 화학자 조지 프라이스(George Price)와 생물학자로 변신한 존 메이너드 스미스(John Maynard Smith)는 함께 자연무료 카지노 게임 관찰되는 다양한 행동 양식을 동물들 사이무료 카지노 게임 벌어지는 ‘게임’이나 ‘경쟁’으로 재구성하여 ‘진화론적으로 안정한 전략(evolutionarily stable strategy)’이라는 개념을 확립했다.
프라이스와 스미스는 이것을 ‘매와 비둘기의 게임(Hawk-Dove game)’으로 설명했다. 매는 호전적이고 비둘기는 싸움을 원하지 않는다. 처음에는 공격적인 매가 진화에 유리할 것 같지만 그들은 서로 공격하다 부상 당할 위험이 있는 반면 비둘기는 싸움을 하지 않아 건강한 상태로 음식과 자원을 찾을 수 있다. 이렇게 서로 시행착오를 겪다 보면 매와 비둘기는 적정한 비율로 섞여(진화적으로 안정된 상태) 공생을 하게 된다는 것이다.
해밀턴은 1978년에 런던 임페리얼 칼리지무료 카지노 게임 미국의 미시간 대학교로 자리를 옮겼고, 몇 년 후부터는 정치과학과 교수 로버트 액설로드(Robert Axelrod)와 함께 (게임이론가를 포함한) 학자들을 초청하여 컴퓨터게임 전략을 주제로 경연을 벌였다. 이 대회는 200종의 ‘죄수의 딜레마(prisoner’s dilemma)’ 중 하나를 골라서 각 라운드마다 상대방과 겨루는 식으로 진행된다.
죄수의 딜레마가 여러 번 반복될 때 참가자가 펼칠 수 있는 최선의 전략은 게임이론 학자 아나톨 래퍼포트(Anatol Rapoport)가 제안한 ‘팃포탯(Tit-for-Tat)’으로 알려져 있는데, 내용은 아주 단순하다. 기본적으로 협동정신을 발휘하되, 상대가 배신하면 나도 똑같이 배신하는 것이다, 액설로드의 게임은 이기적인 쪽으로 진화한 동물들 사이무료 카지노 게임도 협동 관계가 형성될 수 있음을 보여주었다.
노이만의 게임이론에 등장하는 합리적 플레이어를 진화 전략과 자연선택으로 대치한 ‘진화게임이론(evolutionary game theory)’은 남녀 간의 짝짓기 전략무료 카지노 게임 언어의 진화에 이르기까지 다양한 인간사에 적용되어, 그럴듯한 설명과 함께 숱한 논쟁을 야기했다.
엘리너 오스트롬은 2012년에 발표한 논문에 다음과 같이 적어놓았다. “테니스를 칠 때나 공직 출마 시기를 저울질할 때, 포식자와 피식자의 관계를 분석할 때, 낯선 사람의 신뢰도가 궁금할 때, 공익을 위한 일을 계획할 때 등등. 이 많은 경우에 한결같이 적용 가능한 도구가 있으니, 그것이 바로 게임이론이다. 게임이론은 사회과학의 모든 분야에 적용할 수 있는 강력한 분석 도구이다.”
이 책의 가치를 제일 먼저 간파한 집단은 다름 아닌 미국 군대였다. 전략가들의 눈에 『게임이론』이 핵무기 전략을 수립하는 지침서로 보였던 것이다. 그 후 캘리포니아 샌타모니카 해변무료 카지노 게임 한 블록 거리에 위치한 RAND 연구소(RAND corporation)에는 최고의 두뇌들이 모여 글로벌 정책과 핵무기 전략을 수립하기 시작했고, 이들 중 상당수는 “상상할 수 없는 것을 생각하는” 게임이론 전문가들이었다.
<6편무료 카지노 게임 계속
