퀀트의 초보자 마을, 확률카지노 쿠폰
# 퀀트의 기초 스탯, 확률 카지노 쿠폰
RPG 게임을 시작하려 한다면 바로 처음부터 고난이도 던전에 갈 수는 없는 노릇이다. 모든 RPG 게임은 게임의 룰을 익히고 어느 정도 레벨업을 하기 위한 초보자 마을이 존재하는데, 금융공학을 다루는 퀀트에게 있어서 바로 이러한 초보자 마을의 역할을 하는 것이 바로 확률 과정(Stochastic Process)이라고 불리는 녀석이다.
물론 이 확률 과정이라는 개념을 이해하기 위해서는 통계나 미적분 같은 기초적인 수학적 지식들이 필요하기 때문에 확률 과정을 초보자 마을에 빗대는 건 너무 어거지 아닙니까 하고 반문할 수도 있지만, 사실 기초적인 수학 개념들은 우리가 이미 고등학교 교과과정이나 혹은 대학 수학 기초 과목 등을 통해 충분히 습득할 수 있는 내용들이기에 미적분과 선형대수, 확률 통계 같은 과목들은 사실 퀀트의 초보자 마을이라기보다는 금융공학이라는 게임을 설치하는 단계에 가깝다.
이러한 확률 카지노 쿠폰은 금융공학 세계에서 불확실성(Uncertainty)을 모델링하는 데 필수적인 개념이다. 금융공학 석사 카지노 쿠폰을 시작하게 되면 다른 모든 과목들을 차치하고 가장 먼저 확률 미적분(Stochastic Calculus)이라는 과목을 먼저 만나게 되는데, 그 이유는 결국 금융시장이라는 것이 불확실성 그 자체이며 확률 카지노 쿠폰은 이러한 다소 추상적인 개념의 불확실성을 수치적으로 명징하게 계량화시켜줄 수 있는 도구이기 때문이다.
확률 카지노 쿠폰이란 쉽게 말해 어떤 대상이 확률적으로 움직이는 그 경로의 발생에 대해 탐구하는 지식 체계를 의미한다. 금융공학에서 확률 카지노 쿠폰의 대상이 되는 것은 당연하게도 확률적으로 움직이는 금융시장의 모든 것을 포함한다. 확률 카지노 쿠폰의 가장 대표적인 예시는 바로 기하 브라운 운동(GBM, Geometric Brownian Motion)인데, 이는 확률 카지노 쿠폰에 대한 가장 대표적인 모형이며 그 유명한 블랙-숄즈 옵션 공식을 도출하기 위한 필수적인 기초 재료다.
굉장히 수학적이면서 다소 어려워 보이는 개념인 확률 과정이 실무적으로 중요한 이유는 퀀트의 영역에서 어떤 종류의 커리어 패스를 선택하든 간에 이러한 확률 과정이 약방의 감초처럼 어디서든 등장하기 때문이다. 일례로 퀀트 트레이딩이나 퀀트 포트폴리오 운용, 파생상품 및 구조화상품에 대한 프라이싱과 헤징, 알고리즘 마켓 메이킹, 최적 주문 실행 모델 등 금융공학적 지식을 필요로 하는 퀀트 커리어 전반에 걸쳐 조금만 더 깊숙이 들어가다 보면 결국 퀀트와 연관된 모든 지적 체계들의 하부 기저에는 확률 과정이라는 개념이 공통적으로 자리하고 있음을 알 수 있다. 그렇기 때문에 확률 과정에 대해 이해하는 것은 퀀트라는 직업의 기초 스탯을 찍는 것에 비유할 수 있으며, 실무적으로 어떤 방향으로 2차 전직을 하든 간에 확률 과정은 퀀트가 지니고 있어야 할 매우 중요한 스킬셋 중 하나이다.
# 불확실성을 모델링하기 위한 도구, W와 N
위너 카지노 쿠폰과포아송 카지노 쿠폰은 이러한 불확실성을 모델링하기 위한 확률 카지노 쿠폰의 원초적인 두 가지 재료들이다. 불확실한 경로의 다이나믹스를 묘사해 줄 수 있는 이 두 가지 확률 카지노 쿠폰이라는 베이스에 몇 가지 양념을 첨가하고 버무리면 여러 가지 형태로 파생된 확률 카지노 쿠폰을 만들어낼 수 있으며, 이러한 결과물들을 가지고 우리는 주가, 금리, 신용, 변동성 등 다양한 종류의 자산 움직임을 모델링할 수 있다.
1) 위너 카지노 쿠폰 (Wiener Process)
우선 브라운 운동(Brownian Motion)이라고도 불리는 위너 카지노 쿠폰은 연속적 시간 상에서 아주 작은 무작위적 움직임이 누적되는 과정을 표현한다. 이를 직관적으로 이해하기 위해서는 술에 취한 사람이 불규칙한 방향으로 비틀대며 걷는 모습이나 동전 던지기를 통해 무작위적으로 좌우를 결정해 움직이는 어떤 개체를 떠올리면 된다. 일반적으로 이러한 위너 카지노 쿠폰은 대문자W(혹은X)로 표시한다. 아래의 그래프는 이러한 브라운 운동에 대한 시뮬레이션 결과를 보여주고 있다.
브라운 운동 시뮬레이션 결과브라운 운동은 앞서 언급했듯이 금융공학에서 그 유명한 블랙-숄즈 모델을 유도하기 위한 핵심적 요소이며, 전통적인 금융공학적 논의에서는 주가가 기하 브라운 운동(GBM, Geometric Brownian Motion)을 따른다고 가정한다. 아래의 기하 브라운 운동에 대한 수식을 보면 주가의 움직임은 시간의 흐름에 따라 일정하게 움직이는 추세(Drift) 항과 무작위적으로 움직이는 변동성(Volatility) 항의 결합으로 표현되는 것을 볼 수 있다. 수식의 가장 뒤쪽에 자리하고 있는W가 바로 앞서 이야기한 브라운 운동, 즉 위너 카지노 쿠폰이다.
기하 브라운 운동에 대한 확률 미분 방정식
기하 브라운 운동 시뮬레이션 결과2) 포아송 카지노 쿠폰 (Poisson Process)
앞서 살펴본 위너 카지노 쿠폰은 연속적인 가격의 변화만을 가정한다. 하지만 실제 시장은 예상치 못한 뉴스, 유동성 쇼크, 시장 붕괴 등으로 인해 가격이 급등 혹은 급락하는 경우가 많다. 이러한 자산 가격의 불연속성을 설명할 수 있는 개념이 바로 점프 과정(Jump Process)이며, 이 점프 과정의 가장 원초적인 재료가 바로 포아송 카지노 쿠폰(Poisson Process)이다. 일반적으로 이러한 포아송 카지노 쿠폰에는 대문자N을 사용한다.
포아송 카지노 쿠폰의 확률 분포
포아송 카지노 쿠폰 시뮬레이션 결과포아송 카지노 쿠폰은 본래 거래 체결의 발생이나 부도 이벤트의 발생과 같이 시간에 따른 무작위적 사건의 발생 그 자체를 모델링한다. 위너 카지노 쿠폰처럼 물 흐르듯이 연속적으로 계속해서 무언가 움직이는 것이 아니라 시간의 흐름 상에서 간헐적으로 띄엄띄엄 어떤 이벤트가 발생하는 것을 표현하는데 포아송 카지노 쿠폰이 사용되는 것이다. 이러한 포아송 카지노 쿠폰은 그리스 문자 람다(Lambda, λ)를 매개변수로 가지고 있으며, 이 람다는 단위 시간당 사건 발생의 정도, 즉 강도(Intensity)를 나타낸다. 달리 표현하자면, 포아송 카지노 쿠폰에서 연달아 일어나는 두 사건들 사이의 시간은 평균이 1/λ인 지수 분포(Exponential Distribution)를 따르게 된다.
만약 이러한 포아송 카지노 쿠폰을 순수하게 마팅게일(Martingale)로 만들어주고 싶다면 포아송 카지노 쿠폰의 평균값인 λt만큼을 차감하여 보상된 포아송 카지노 쿠폰(Compensated Poisson Process)을 사용하면 된다. 보상된 포아송 카지노 쿠폰을 사용하는 이유는 위험 중립 프라이싱의 관점에서 마팅게일을 달성하기 위해 추세항을 제거해주어야 하기 때문이다. 이러한 보상된 포아송 카지노 쿠폰은 일반적으로 대문자N에^(햇)을 씌워 표현한다.
보상된 포아송 카지노 쿠폰
보상된 포아송 카지노 쿠폰 시뮬레이션 결과가격의 급락 혹은 급등을 모델링하기 위해서는 사건의 발생이라는 이러한 포아송 카지노 쿠폰에다가 사건 발생의 강도, 즉 점프의 크기를 곱해서 실질적인 점프 과정을 구현하는데, 이를 복합 포아송 카지노 쿠폰(Compound Poisson Process)라고 부르며 일반적으로 대문자J를 사용한다. 여기서 점프의 크기는 특정 확률 분포(가령 정규 분포, 지수 분포, 균등 분포 등)을 따르도록 설정한다. 만약 복합 포아송 카지노 쿠폰 또한 마팅게일로 만들어야 한다면 앞에서처럼 추세항을 제거하여 보상된 복합 포아송 카지노 쿠폰(Compensated Compound Poisson Process)을 만들면 된다.
복합 포아송 카지노 쿠폰
보상된 복합 포아송 카지노 쿠폰
복합 포아송 카지노 쿠폰 시뮬레이션 결과마지막으로 포아송 카지노 쿠폰의 매개변수인 람다, 즉 사건 발생의 강도 자체가 기존의 고정된 상수가 아닌 확률적 성질을 띄게끔 포아송 카지노 쿠폰에 변주를 줄 수도 있는데 이를 이중 확률적 포아송 카지노 쿠폰(Doubly Stochastic Poisson process), 혹은 해당 모형을 만든 통계학자 데이비드 콕스의 이름을 따서 간단하게 콕스 카지노 쿠폰(Cox process)이라 부르기도 한다. 이 모델의 본질은 포아송 카지노 쿠폰을 생성하는 데 있어서 확률 과정이 두 번 중첩되도록 하는 것이다. 이는 마치 변동성의 변동성이 고정된 상수가 아닌 시간 가변적 변수인 것처럼 사건 발생의 강도 또한 특정 확률 과정을 따라 랜덤하게 변하도록 만든 것이다.
# 머튼의 점프-확산 모형
머튼의 점프-확산 모형(Jump-Diffusion Model)은 앞에서 정리한 위너 카지노 쿠폰과 포아송 카지노 쿠폰, 두 가지를 모두 결합한 대표적인 확률 과정 모형이다. 두 가지 확률 과정이 중첩되어 있기 때문에 연속적인 변화뿐만 아니라 점프까지도 고려할 수 있다.
점프-확산 모형에 대한 확률 미분 방정식
점프-확산 모형에 대한 시뮬레이션 결과정리하자면, 확률 과정은 금융공학이라는 거대 담론을 이해하기 위한 가장 첫 번째 관문으로, 퀀트 트레이딩과 파생상품 가격 결정, 호가창의 다이나믹스 및 유동성 분석, 위험 관리 모델 개발 등 퀀트적 역량이 필요한 다양한 분야에서 활용된다. 그중에서도 위너 카지노 쿠폰과 포아송 카지노 쿠폰은 확률 과정에서 두 개의 핵심 축 역할을 담당하고 있다. 우리는 이 두 가지 확률 과정으로부터 파생되는 여러 확률 과정의 변종들을 통해 보다 현실적인 시장의 다이나믹스를 포착하고 이를 추정해 볼 수 있으며 이러한 작업은 정교한 금융 의사 결정을 내리기 위한 토대가 된다.
